第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
§1 矩阵的相似对角形
一、知识回顾
1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。 2．特征值与特征向量，特征子空间V?及其维数，特征值的代数重数与几何重数。 3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。 4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。 若A为n阶矩阵，矩阵
???a11??a21??E?A??????an1?a12???a1n???a2n? ?????ann?
??a22??an2?称为A的特征矩阵。又多项式
f(?)?|?E?A|???a1?nn称为A的特征多项式，这里a1???aii??trA，an?(?1)|A|，ai是A的所有i阶主子
nn?1???ai?n?i???an
i?1式的和与(?1)i的乘积。trA叫A的迹。
属于矩阵A的同一个特征值?0的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间
V?0，称为A的特征子空间。特征子空间V?0的维数不超过特征根?0的重数。
二、寻找矩阵的相似对角形的方法 例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似 ?5?(1) A??1???1602?3??1??1，(2) A?2????1???22122??3??2，(3) A??4???1??4?1?1?80??0。 ??2??提示：(1) ?1?2,?2?1?3,?3?1?3；
??1??3??3???????x1?1,x2??1,x3??1；
??????????0???2?3???2?3????2?P?1???03?12?3???1，P?1?2?3??3???1?13???3?2?13??3?21?1??3233233?0??3?。 ?6?3??6???1??3??3????????1,x3??1(2) ?1??2??1,?3?5；x1?1,x2?；
??????????0???2?3???2?3???1?P?0????11??21???111；P??1??3??11???10?121?1???1。 ?1??（3） ?1??2?1,?3??2；?1的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。
?4?例3-2 设A??3????36?5?60??0，求A的相似对角形及A100。 ?1??
§2 矩阵的约当标准形
当矩阵A?(aij)?Cn?n不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块
对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这
就是约当（Jordan）形矩阵，称之为矩阵A的约当标准形。
定义 若数域P上多项式f(?),q(?),g(x)满足f(?)?q(?)g(?)，则称g(?)整除
f(?)，记为g(?)|f(?)。
定义3－1 设f(?),g(?)是P上多项式，如果存在P上多项式d(?)满足 （1）d(?)|f(?)，d(?)|g(?)（即d(?)可以整除f(?),g(?)）；
（2）若有P上多项式d1(x)，d1(?)|f(?)，d1(?)|g(?)，则有d1(?)|d(?)，则称
d(?)是f(?),g(?)的一个最大公因式，记(f(?),g(?))表示首项系数为1的最大公因式。
三个多项式f(?),g(?),h(?)的最大公因式(f(?),g(?),h(?))可定义为
((f(?),g(?)),h(?))
1．行列式因子 设A?(aij)?Cn?n，?E?A是A的特征矩阵，记为A(?)。
定义3－2 A(?)中所有非零的k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式。 Dk(?)称为A(?)的一个k阶行列式因子（k?1,2,?,n）
。 Dn(?)?|?E?A|，并且Dk?1(?)|Dk(?)（k?2,3,?,n）例3－3 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子： ??1?（1）A?????a??1??；（2）A???2??????? ??a?1???12．不变因子，初等因子 定义3－3 下列n个多项式 d1(?)?D1(?)，d2(?)?D2(?)D1(?)D3(?)D2(?)Dn(?)Dn?1(?)，d3(?)?，…，dn(?)?
称为A(?)的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为A(?)的初等因子。
由于这里的A(?)??E?A完全由A决定，所以这里A(?)的不变因子及初等因子也常
称为矩阵A的不变因子及初等因子。 例3－4 求下列矩阵的不变因子及初等因子
??1?（1）A???????1???；（2）A?0??????22?
?2122?20??0 ??1??
?a?例3－5 设?????ba?????（各个b?0），求A的初等因子。 i?b??a?
3．约当标准形
设矩阵A 的全部初等因子为：????1?1,????2?2,?,????s?s。相对于每个初等
kkkk因子????i?i构造一个ki 阶的Jordan矩阵块：
??i?1Ji????????,i?1,?,s。 ???i??i??1由所有这些Jordan块构成的对角矩阵
?J1?J???????? ??Js?J2?称为矩阵 A 的Jordan形矩阵，或A 的约当标准形。
定理3－4 每个n阶复数矩阵A都与一个约当形矩阵J相似
P?1AP?J；
除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J是被矩阵A唯一决定的。
这个定理用线性变换的语言来说就是：
设T是复数域上n维线性空间V的线性变换，则在V中必定存在一个基，使T在这个基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T唯一决定的。
推论 复数矩阵A与对角形矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次因式。 注意：由于
|?E?A|?|?E?J|?|?E1?J1|?|?E2?J2|???|?Es?Js|
?(???1)(???2)k1k2?(???s)ks
s所以约当形矩阵J的主对角线上的元素?1,?2,?,?s全为A的特征值，并且?ki?n。但
i?1i?j时可能有?i??j，故?i不一定是A的ki重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能
写出矩阵的约当形矩阵。
?2?例3－6 求矩阵A?2????1?1?11?1???2的Jordan标准形及所用的矩阵P。 ?2??1??1??2?0?????2???010??2??2
?2???4??3??0
???2?解： （1）?E?A??2???1?1??0???00??1?10??1??1??10??0
?2????1?????。 ?1???12?所以 A 的初等因子为??1,???1?，故 A 的Jordan标准形为J????11
（2）设P??x1,x2,x3?。由P?1AP?J，得A?x1,x2,x3???x1,x2,x3?J， 即
?x3,x3?。于是有
?Ax1,Ax2,Ax3???x1,x2?E?A?x1???E （1）
?A?x2??x3 （2） ?A?x3?? （3）
TT?E方程组（1）、（3）的基础解系为：e1??1,1,0?,e2??1,0,1?。
取x1??1,1,0?，而x3?c1e1?c2e2??c1?c2,c1,c2?。为使（2）有解，选择c1, c2 的
TT值是下面两矩阵的秩相同： ??1?E?A??2???112?11??2,??1????1??2???1T12?112?1c1?c2??c1，
?c2??T的c1=2, c2=-1。所以x3??1,2,?1?。将所求的x3代入方程（2）并解之得：x2??1,1,1?。