?g(A1)?故 g(A)?????g(A2)?????0，因此f(x)整除g(x)。 ??g(As)?????0，因此对于每一个i有??f(As)?又因为
?f(A1)?f(A)?????f(A2)?f(Ai)?0，即fi(x)整除f(x)。而g(x)是fi(x)的最小公倍式。故g(x)整除f(x) ，综
上所得f(x)?g(x)。
因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即Jordan标准型，所以利用Jordan标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。
（6）A的最小多项式即为A的不变因子dn????Dn???Dn?1???。
事实上，将矩阵化为Jordan标准形后，各Jordan块的最小多项式的最小公倍式，即初
等因子的最小公倍式dn???，即是A的最小多项式。
例3-7中，矩阵A的初等因子为：??1,??1,??2，A的最小多项式即为
m???????1????2?。
§4 多项式矩阵与Smith标准形
一、多项式矩阵的概念
1．多项式矩阵的定义 若矩阵A?????aij????m?n的元素aij(?)都是?的多项式（系数属于某一数域P），则
A(?)称为??矩阵，或多项式矩阵。如A?????E?A。
作为多项式矩阵的一种推广就是有理分式矩阵。 2．多项式矩阵的秩
A???至少有一个r阶子式不是零多项式，而所有的r?1阶子式都是零多项式，则称
A(r)的秩是r。零矩阵的秩定义为零。
3．A???是满秩的（或非奇异的） 秩为n，A???不是零多项式。
4．A???是可逆的（或称为单模矩阵）
存在多项式矩阵B???，使得A???B????B???A????E。 3－11 注：（1）A???的逆矩阵是唯一的。（2）满秩矩阵不一定可逆。如B?????定理3－9 A???是可逆的充分必要条件是A????c?0。
证明 设A(?)可逆，则有多项式矩阵B(?)，使得式3－11成立，从而有
|A(?)|?|B(?)|?|E|?1
?1???。
??2??故|A(?)|与|B(?)|只能是零次多项式，且不等于零（数），所以当A(?)可逆时，|A(?)|必定等于某个非零常数c。
反过来，若|A(?)|?c?0，则易知A(?)可逆，且其逆矩阵为
*A?1(?)?1cA(?)
*这里A(?)是A(?)的伴随矩阵。
例3－10 多项式矩阵
???1A(?)??2???3???1???，B(?)??22??5??4????3??2??3?? 2??5??6???3中，A(?)是可逆的，而B(?)是不可逆的，因为
|A(?)|?4，|B(?)|?0
5． 多项式矩阵的初等变换
定义3－5 下列变换称为多项式矩阵A(?)的初等变换
（1）互换A???的任意两行（列）；（2）以非零的数k(?P)乘A???的某一行（或列）；
（3）以多项式????乘A???的某一行（或某一列）并加到另一行（或列）。
由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，即它们都是单模矩阵。
对一个多项式矩阵进行一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的初等矩阵左（右）乘该矩阵。
6．等价
定义 A???~?B???，是指经过有限次初等变换能把A???化为B???。 （1）多项式矩阵的等价是一种等价关系。
（2）A???~?B???的充分必要条件是存在初等矩阵P1,?,Ps,Q1,?,Qt，使得
B????P1?PsA???Q1?Qt?P???A???Q???，
P(?)与Q???都是单模矩阵。
二、多项式矩阵的Smith标准形
引理 A?????aij????m?n中a11????0，并且A???至少有一个元素不能被a11???所整
，使得b11????0，且
除，则比可以找到一个与A???等价的多项式矩阵B?????bij????b11???的次数低于a11???的次数。
m?n
证明：分为三种情况。
（1）?ai1???不能被a11???所整除，则ai1????q???a11????r???，且r???的次数低
于a11???的次数。用A???的第i行减去q???乘以第一行，再把第i行和第一行互换即可。
（2）若在A???的第一行中存在不能被a11???整除的元素，可类似处理。
（3）若A???的第一行（列）中的元素都能被a11???整除，而aij????i?1,j?1?不能
被a11???整除。设ai1????????a11???。将第i行减去第一行乘上????，再将新的第i行加到第一行上，即成为情形 (2)。
定理3-10 任意非零的多项式矩阵A?????aij????m?n都等价于下形式的Simith标准形：
?d1????0????J?????0?0????0?0?00?dr???0?00?00?0??d2?????00?0?????0?0??0????0?， 0????0??这里r是A???的秩，di????i?1,?,r?是首项系数为1的多项式，且
di???|di?1???,i?1,?,r?1。
J(?)称为A(?)的史密斯（Smith）标准型。
证明：经过有限次初等变换后，总可以使矩阵A???等价于一个多项式矩阵B1???，使
得该矩阵的第(1,1)元素可以整除其他所有的元素。再通过初等变换把B1???第一行（列）的其它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行
下去，即得定理的证明。
?0?例3－11 求多项式矩阵A????????0?(??1)00
????1的Simith标准形。
????2??0
?1????例3－12 化多项式矩阵A?????2??1??2??1??? 为Simith标准形。 ?2???????22????100
?1?答案：0???00?0??1??0，0???????1????2???0?0?0??0。
?3?????
三、多项式矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子
定义3－7 设多项式矩阵A???的秩r?1，则A???中所有k 阶子式的首项系数为1的
最大公因式Dk???，称为A???的k 阶行列式因子。
?B???，则A???,B???必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。定理3－11 若A???~
证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩，并具有相同的行列式因子即可。 定义3－8 在A???的Simith 标准形J???中，多项式d1???,?,dr???称为A???的不
变因子。
注1：因为A????J???，所以具有相同的行列式因子，故有：
D1????d1???,D2????d1???d2???,?,Dr????d1????dr???，
从而有：d1????D1???,d2????D2???D1???,?,dr????Dr???Dr?1???。
注2：A???的不变因子由其行列式因子完全确定，所以Simith标准形式唯一的。 注3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。
注4：可逆矩阵的Simith标准形是单位矩阵（因为Dn????1）；与单位矩阵等价的多项
式矩阵必可逆。
A???为可逆矩阵的充分必要条件，是A???可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
定义3－9 把A???的每个次数大于或等于1的不变因子分解为互不相同的方幂的乘积，所有这些一次因子的方幂（相同的按出现的次数计算），称为A???的初等因子。
??1?例3－13 求矩阵A??1????1?20?126??3的特征矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子。 ?4??（不变因子为1,??1,???1?）。 四、几个重要结论
1．定理3－12 若A???~是A???,B???有相同的行列式因子，?B???的充分必要条件，或相同的不变因子。
证明思路：必要性由定理3－11即得；充分性源于有相同的行列式因子，或相同的不变
因子的多项式矩阵具有相同的Simith标准形。
2．两个n 阶矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价。
3．A???的行列式因子、不变因子与初等因子亦称为矩阵A的行列式因子、不变因子与初等因子。
（1）A~B?A,B有相同的不变因子。
（2）在复数域内A~B?A,B有相同的初等因子。