?1?易证x1,x2,x3线性无关。P?1???0?4?例3－7 求矩阵A??3????36?5?61??21。
??11??0??0特征多项式、初等因子及约当标准形。 ??1??1
解 易得A的特征多项式为
f(?)?|?E?A|?(??1)(??2)
2并且可以求得不变因子为
d1(?)?1，d2(?)???1，d3(?)?(??1)(??2)
故初等因子为
??1，??1，??2
因此约当标准形为对角形矩阵
?1?J?????? ??2?? 1
?dx1?dt??x1?x2?dx?2??4x1?3x2的通解。 例3－8 求线性微分方程组??dt?dx3?x?2x13??dt
??1dx??Ax。其中A??4解：方程组可以写成
?dt??1?2?（1）求A 的初等因子及Jordan标准形。J????1300?T?0，x??x1,x2x3?。 ?2????。 ?1?? 11
?0?（2）求相似变换矩阵。P?0???101?11??2。 ??1??
（3）作满秩线性变换x?Py，其中y??y1,y2,y3?，则有
Tdydt?P?1APy。即
?dy1?dt?2y1?dy?2?y2 （*） ?dt??dy3?y?y23??dt（上述过程实际上是将系统解藕的过程）。
（4）求（*）的通解，进而求原方程组得通解。
?0?x?Py?0???101?12t?1??k1e???t2?k2e?。 ?t???1????k2t?k3?e?
例3－9 利用约当标准形证明：若n 阶矩阵A 的特征值为?1,?,?n，则Am的特征值
mm为?1,?,?n。
证明：设A的约当形矩阵为
?J1?J???????? ??Js?
J2?其中
??i?1Ji??????1
?i??1m??? ???i??1因J?P但是有
AP，故J?PAP
m Jm?J1m???????J2m????im???，Jm??*i?????mJs????*?im???*??? ??m?i??m显然J的特征值就是J的特征值的m次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值
m就是Jm的特征值，即A（或J）的特征值的m次幂。证毕。
§3 哈密顿—凯莱定理及矩阵的最小多项式
一、哈密顿—凯莱（Hamilton-Cayley）定理
定理1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵A 的特征多项式是f?????E?A???a1?nnn?1???an?1??an，则有
n?1f?A??A?a1A???an?1A?anE?0。 3-6
证明：设B???是?E?A的伴随矩阵，则
B???(?E?A)??E?AE?f???E。 3-7
由于B???的元素都是次数不超过n?1的?的多项式，所以
B?????n?1B0??n?2B1???Bn?1。
其中Bi为n阶数字矩阵。于是有
B???(?E?A)??B0??nn?1?B1?B0A??????Bn?1?Bn?2A??Bn?1A。 3-8
nn?1注意到f???E??E?a1?E???an?1?E?anE， 3-9
由等式3-7，3－8，3－9即得：
B0?EB1?B0A?a1E
??????Bn?1?Bn?2A?an?1E ?Bn?1A?anE以A,Ann?1,?,A,E一次右乘上面的第一式、第二式，…，第n?1式，并将它们加起来，
左边为零，右边即为f?A?。□
?1?例3－8 设A?0???00?112??1，试计算?(A)?2A8?3A5?A4?A2?4E。 ?0??
定义：方阵A的零化多项式：使?????0的多项式????。
注：如果多项式????的次数比????的高，则在计算??A?时，存在一个次数比????低
的多项式r(?)，使得??A??r?A?。事实上，用????去除????，得：
?????p????????r???。将A代入即可。
二、矩阵的最小多项式
定义3－4 设A是n阶矩阵，则A的首项系数为1的次数最小的零化多项式m???，称
为A的最小多项式。 2．最小多项式的性质
（1） 矩阵A的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。
证明：?????q???m????r???。则r?A??0。由于m???是最小多项式，只能有r???是零多项式。
（2） 矩阵A的最小多项式是唯一的。 证明：用结论（1）。若有两个最小多项式，则它们互相整除，且都是首一多项式，只能
相等。 （3） 相似矩阵的最小多项式相同。
证明：设B=P-1AP，则对于任一多项式p???，有p?B??P?1p?A?P，从而A和B的零
化多项式是相同的。
（4） 矩阵A的最小多项式的根必定是A的特征根；反之，A的特征根也一定是A的证明：由（1），特征多项式f???能被最小多项式m???所整除。所以矩阵A的最小多最小多项式的根。
项式的根必定是A的特征根。
反之，若Ax??0x?x?0?，则m?A?x?m??0?x?0?m??0??0。
注：求最小多项式的方法之一：若矩阵f????????1?1?????s?s，则A的最小多项式具有形式：
kkA的特征多项式是
m????????1?1?????s?s，
nn其中ni?ki,i?1,?,s。
?3?例3-9 求矩阵A的最小多项式，其中A??1????12?3532???2。 ?0??
解：A的特征多项式是f???????2????4?，于是A的最小多项式只能是
m???????2????4?或f???。
直接验证得m?A???A?2E??A?4E??0。
??i?1?例 约当块Ji?????i??1??n?的最小多项式的是m????????i?i。 ???i?ni?0?1ni?(???)J证明：i的特征多项式为，而Ji??iE?i????0?????0??100?0??0??1???， ??0?(Ji??iE)ni?10??0?，所以J的最小多项式为(???)ni。
ii???0?
?A1?（5）设A是一个分块矩阵，A?????A2????，A的最小多项多等于A的最小
i??As?多项式的最小公倍式，i?1,2,?,s。
证明：设Ai的最小多项式为fi(x)，A的最小多项式为f(x)，fi(x)的最小公倍式是
g(x)，由fi(x)整除g(x)知g(Ai)?0，i?1,2,?,s。