十、数列
一、选择题 1．（天津理4）已知
?an?为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为
?an?的前n项和，n?N*，则S10的值为
A．-110 B．-90 C．90 D．110
【答案】D
2．（四川理8）数列
b3??2?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn，则
a8??an?1?an(n?N*)．若则
，
b10?12
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B 【解析】由已知知
bn?2n?8,an?1?an?2n?8,由叠加法
(a2?a1)?(a3?a2)???(a8?a7)??6??4??2?0?2?4?6?0?a8?a1?33．（四川理11）已知定义在
f(x)??x?2x2x??0,2??0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2)，
当时，
?2n?2,2n?上的最大值为an(n?N*)，且?an?的前n项
．设f(x)在
3和为
Sn，则n??limSn?5 A．3
B．2
C．2
D．2
【答案】D
f(x?2)?13f(x)【解析】由题意
,在[2n?2,2n]上，
1n1?()3?limS?3?Sn?n121?3
n?1,f(x)?1,n?2,f(x)?1121n?1,n?3,f(x)?()?an?()3334．（上海理18）设
{an}是各项为正数的无穷数列，
Ai是边长为
ai,ai?1的矩形面积
{A}（i?1,2,?），则n为等比数列的充要条件为
A．
{an}是等比数列。
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B．C．D．
a1,a3,?,a2n?1,?a1,a3,?,a2n?1,?a1,a3,?,a2n?1,?或和和
a2,a4,?,a2n,?a2,a4,?,a2n,?a2,a4,?,a2n,?是等比数列。 均是等比数列。
均是等比数列，且公比相同。
【答案】D 5．（全国大纲理4）设
则k?
A．8 B．7 C．6
anSnSn为等差数列
a?1?an?的前n项和，
若1，公差dSk?2?Sk?24?2，，
D．5
Sn?Sm?Sn?m【答案】D
6．（江西理5） 已知数列{
A．1
}的前n项和
满足：
，且
a1=1．那么
a10=
B．9 C．10 D．55
【答案】A
7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，
给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B 二、填空题 8．（湖南理12）设
则
S9Sn是等差数列
{an}(n?N?)，的前n项和，且
a1?1,a4?7，
= ．
【答案】25
9．（重庆理11）在等差数列【答案】74
1{an}中，
a3?a7?37，则
a2?a4?a6?a8?__________
10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=2，a4=-4，则公比q=______________；
a1?a2?...?an?n?1____________。—2
2?12
【答案】
11．（安徽理14）已知?ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的
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等差数列，则?ABC的面积为_______________.
【答案】153
12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积
成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为
升。
67【答案】66
13．（广东理11）等差数列k=____________． 【答案】10 14．（江苏13）设
1?a1?a2???a7an前9项的和等于前4项的和．若
a1?1,ak?a4?0，则
，其中
a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，2a,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
3【答案】3
三、解答题
15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列
已知对任意整数k?M，当整数 （1）设 （2）设
M?{1},a2?2,求a5{an}的首项a1?1，前n项和为都成立
Sn，
n?k时,Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)的值； 的通项公式
M?{3,4},求数列{an}本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生
分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当 即
n?2时,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1)，
(Sn?1?Sn)?(Sn?Sn?1)?2S1，
从而 所以
an?1?an?2a1?2,又a2?2,故当n?2时,an?a2?2(n?2)?2n?2.a5的值为8。
k?M?{3,4},且n?k时,Sn?k?Sn?k?2Sn?2Sk?2Sn?1?2Sk （2）由题设知，当
且Sn?1?k?Sn?
1?k，
两式相减得
an?1?k?an?1?k?2an?1,即an?1?k?an?1?k?an?1?an?1?k第 3 页 共 21 页
所以当列
n?8时,an?6,an?3,an,an?3,an?6成等差数列，且
an?6,an?2,an?2,an?6也成等差数
2a?an?3?an?3?an?6?an?6.从而当n?8时，n （*）
且即
an?6?an?6?an?2?an?2,所以当n?8时,2an?an?2?an?2an?2?an?an?an?2.于是当n?9时,an?3,an?1,an?1,an?3an?3?an?3?an?1?an?1，
成等差数列，
从而
，
故由（*）式知
2an?an?1?an?1,即an?1?an?an?an?1.d?an?an?1.当n?9时，设
2a?am?am?12当2?m?8时,m?6?8，从而由（*）式知m?6
故
2am?7?am?1?am?13.
，于是
am?1?am?2d?d?d.从而
2(am?7?am?6)?am?1?am?(am?13?am?12)an?1?an?d
因此，知
S?Sn?k?2Sk?2Sk(k?{3,4})对任意n?2都成立，又由n?k可
(Sn?k?Sn)?(Sn?Sn?k)?2Sk,故9d?2S3且16d?2S47232d，
解得
a4?d,从而a2?d,a1?2
.因此，数列所以数列
{an}为等差数列，由
a1?1知d?2.
{an}的通项公式为
an?2n?1.
16．（安徽理18）
在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设
Tn，再令
an?lgTn,n≥1.
{an}的通项公式；
求数列
{bn}bn?tanan?tanan?1,的前n项和
Sn.
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.
解：（I）设
l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中
t1?1,tn?2?100,则
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Tn?t1?t2???tn?1?tn?2,Tn?tn?1?tn?2???t2?t1, ① ②
2①×②并利用
2t1tn?3?i?t1tn?2?10(1?i?n?2),得
,?an?lgTn?n?2,n?1.Tn?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2)
（II）由题意和（I）中计算结果，知
bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.
tan1?tan((k?1)?k)?tan(k?1)?tank 另一方面，利用
tan(k?1)?tank?tan(k?1)?tanktan11?tan(k?1)?tank
,?1. 得
nn?2k
Sn? 所以
n?2?bk?1??tan(k?1)?tankk?3
???k?3(tan(k?1)?tanktan1tan1?n.?1)tan(n?3)?tan3
17．（北京理20）
若数列记
An?a1,a2,...,an(n?2)满足
an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列
An为E数列，
S(An)=
a1?a2?...?an．
，且
S(As)（Ⅰ）写出一个满足（Ⅱ）若
a1?12a1?as?0〉0的E数列
An；
an，n=2000，证明：E数列
An是递增数列的充要条件是
An=2011； S?An?（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列
An，使得
=0？
如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以
ak?1?ak?1(k?1,2,?,1999).
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
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