所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以
?n(n?1)2?[(1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)???(1?cn?1)].所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故
an?1?an?1?0(k?1,2,?,1999),即An是递增数列.
综上，结论得证。 （Ⅲ）令
ck?ak?1?ak?1?0(k?1,2,?,n?1),则cA??1.
因为a2?a1?c1?a1?a1?c1?c2 ??
an?a1?c1?c2???cn?1,
S(An)?na1?(n?1)c1?(n?2)c2?(n?3)c3???cn?1
因为所以
ck??1,所以1?ck为偶数(k?1,?,n?1).
为偶数,
*1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)???(1?cn)n(n?1)2所以要使
S(An)?0,必须使为偶数,
即4整除n(n?1),亦即n?4m或n?4m?1(m?N*). 当
n?4m?1(m?N*)时,E数列An的项满足a4k?1?a4k?1?0,a4k?2??1,a4k?1
(k?1,2,?,m)时，有
a1?0,S(An)?0;
a4k?1(k?1,2,?,m),a4k?1?0时,有a1?0,S(An)?0;当当
n?4m?1(m?N*)时,E数列An的项满足，
a4k?1?a3k?3?0,a4k?2??1,n?4m?2或n?4m?3(m?N)时,n(m?1)a1?0,S(An)?0.不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
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18．（福建理16）
13已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=3。 （I）求数列{an}的通项公式；
x??6处取得最大值，且最大值
（II）若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0???p??)在为a3，求函数f（x）的解析式。
本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。
q?3,S3?133得a1(1?3)1?33?133, 解：（I）由
a1?1.3 13?3
解得
所以
an?n?1?3n?2.
an?3n?2（II）由（I）可知
,所以a3?3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以A=3。
x??6时f(x)取得最大值，
因为当
sin(2??6??)?1.所以
?.6
f(x)?3sin(2x?0????,故??又
?所以函数
f(x)的解析式为
)6
19．（广东理20）
?a?设b>0,数列n满足a1=b，
?an?的通项公式；
an?nban?1an?1?2n?2(n?2)．
（1）求数列
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（2）证明：对于一切正整数n，解：
a1?b?0,知an?an?b2n?1n?1?1.
nban?1an?1?2n?2?0,nan?1b?2n?1ban?1. （1）由
An?nan,A1?1b1b
令
，
?2bAn?1 当?n?2时,An? A11b1b?2b2???2b2bn?2n?1?2b2n?1n?1
?
?2b2n?2n?1n?1n????
b.
①当b?2时，
?2?(1???)nnb?2b?b?An??n,2b(b?2)1?b
b?2时,An?n.1n
②当
2
?nbn(b?2),b?2?an??bn?2n?2,b?2?
（2）当b?2时，（欲证
(2n?1an?nb(b?2)b?2nnn?b2n?1n?1?1,只需证nb?(nb2n?1n?1?1)b?2nnb?2）
?bn?1)b?2b?2n?2nn?(2n?1?bn?1)(bn?1?2bn?2???2n?1)
?2n?1
???22nbn?1?2bn?2?b2n?2b2n?1???2n?1bn?1
?2b(nn2b?2b22???2bnn?b2nn?b2n?1n?1???b
2
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?2b(2?2???2)?2n?2b?n?2nnnnn?1b，
n
?an?nb(b?2)b?2nnn?b2b2n?1n?1?1. ?1.n?1n?1 当
b?2时,an?2?n?1n?1
综上所述
an?b2?1.
20．（湖北理19） 已知数列
?an?的前n项和为Sn，且满足：a1?a(a?0)，an?1?rSn(n?N*，
r?R,r??1)．
（Ⅰ）求数列
?an?的通项公式；
?1（Ⅱ）若存在k?N*，使得Sk，Sk，Sk?2成等差数列，是判断：对于任意的m?N*，
且m?2，am?1，am，am?2是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与
一般的思想。（满分13分） 解：（I）由已知
an?1?rSn,可得
an?2?rSn?1，两式相减可得
an?2?an?1?(rSn?1?S)?ra,nn?1
即 又
an?2?(r?1)an?1,a2?ra1?ra,
所以r=0时，
数列
{an}为：a，0，?，0，?；
*a?0,所以an?0 当r?0,r??1时，由已知（n?N），
an?2 于是由
an?2?(r?1)an?1,可得
an?1?r?1(n?N)?，
?a2,a3,?,an??成等比数列，
n?2a?r(r?1) ?当n?2时，na.
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n?1,?anan??n?2{an}r(r?1)a,n?2? 综上，数列的通项公式为
（II）对于任意的m?N，且
*m?2,am?1,am,am?2成等差数列，证明如下：
?a,n?1,am???0,n?2 当r=0时，由（I）知，
?对于任意的m?N，且 当r?0，r??1时，
*m?2,am?1,am,am?2成等差数列，
?Sk?2?Sk?ak?1?ak?,2Sk??ak?.1* 1 若存在k?N，使得 则
Sk?1?Sk?2?2SkSk?1,S1,Sk?2成等差数列，
，
?2S即,ka?k2??2a?k1,?2Sk?2ak?1?ak?2
由（I）知，
a2,a3,?,am,?*的公比r?1??2，于是
对于任意的m?N，且
?am?1?am?2?2am,即m?2,am?1??2am,从而am?2?4am,am?1,am,a?m2成等差数列，
*m?2,am?1,am,am?2m?N 综上，对于任意的，且成等差数列。
21．（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；
?an??n?1?2?（II）求数列?的前n项和．
解：
?a1?d?0,?2a?12d??10,{an} （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得?1 ?a1?1,?d??1.解得?
故数列
{an}的通项公式为
an?2?n. ………………5分
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