第二节 空间几何体的表面积和体积
【考纲下载】
了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面 展开图 侧面积 公式 2．多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
3．空间几何体的表面积和体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh (棱柱和圆柱) 1锥体 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 3(棱锥和圆锥) 1V＝(S上＋S下＋ 台体 S表面积＝S侧＋ 3(棱台和圆台) S上＋S下 S上S下)h 4球 S＝4πR2 V＝πR3 3
将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？ 提示：分别得到矩形、扇形、扇环．
1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 ( ) A．8π B．6π C．4π D．π
解析：选C 设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2. 故该正方体的内切球的半径r＝1，
所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π.
2．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )
A．12π B．16π C．9π D．24π
解析：选B 以AB为轴旋转一周所得到的几何体为圆锥，且底面圆的半径为4，圆锥
1
的高为3.故体积V＝×π×42×3＝16π.
3
3. (2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )
1
圆台 S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l S圆柱侧＝2πrl
8
A．45，8 B．45，
3
8
C．4(5＋1)， D．8,8
3
解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高
118×2×5?＝45，V＝×22×2＝. 为22＋12＝5，所以S侧＝4×??2?33
4．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
11解析：该几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V＝×
23
π
×(π×12)×2＝.
3π答案： 35．(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.
答案：16π－16
[典例] (2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
2
560580A. B. 33C．200 D．240
[解题指导] 将三视图还原为几何体，然后再选用相关公式求解．
[解析] 由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的
1
等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V＝×(2＋8)×4×10＝200.
2
[答案] C
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
解析：选A 该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个
1
圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋π×22×4＝16＋8π.
2考点一 空间几何体的表面积
[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋65 B．30＋65 C．56＋125 D．60＋125
(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
3
[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，
据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，
据侧视图知，BC＝4.
综上所述，可知BC⊥平面PAB， PB＝PD2＋BD2＝5，
PC＝BC2＋PB2＝16＋25＝41， AC＝AB2＋BC2＝41， PA＝PD2＋AD2＝25. ∵PC＝AC＝41，
∴△PAC的边PA上的高为
PA?2
h＝ PC2－??2?＝6.
11
∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，
2211
S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝PA·h＝65.
22
故三棱锥的表面积为
S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋65. (2)该几何体的直观图如图所示：
该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．
∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】
空间几何体的表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )
4
A．372 B．360 C．292 D．280
解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，
又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360. 高频考点 考点二 空间几何体的体积
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；
(3)求以三视图为背景的几何体的体积． [例2]（1）(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm B．100 cm C．92 cm3 D．84 cm3 (2)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，
3
则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm.
33
[自主解答] (1)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，
11
则几何体的体积V＝6×6×3－××4×4×3＝100 cm3.
32
(2)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为32×2＝62，从而
1
VA-BB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6.
3
5