[答案] (1)B (2)6
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
1416
A．4 B. C. D．6
33
解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2
1114
＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝. 333
2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π
解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、
6
高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为＝3，
2
1
母线长为2，故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π.
2考点三 与球有关的组合体
[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
31713A. B．210 C. D．310
22
[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.
6
151
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
222
?5?2＋62＝13. 所以球O的半径R＝OA＝ ?2?2
[答案] C 【互动探究】
侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为
1?2
?32?2－??2×6?
＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，
所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
【方法规律】
与球有关的组合体的类型及解法
(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．
(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
500π866πA. cm3 B. cm3
331 372π2 048πC. cm3 D. cm3
33
解析：选A 设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球
44500π
的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3.
333
——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
2种方法——割补法与等积法
(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何
7
体进行解决．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点
(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
[全盘巩固]
S11．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( )
S2
26ππA. B. C. D. ππ62
323
解析：选D 设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝43
2
S14πRπR，则＝＝.
S223?22
6×?
?3R?
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
112
A. B. C. D．1 633
111
×1×1?×2＝. 解析：选B 根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V＝×??3?23
3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
3πππ
A．24－ B．24－ C．24－π D．24－ 232
解析：选A 据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长
1
分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3
2
3π＝24－.
2
4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
8
ππ
95－?cm2 B.?94－?cm2 A.?2?2???
ππ
94＋?cm2 D.?95＋?cm2 C.?2?2???
解析：选C 该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方
1?1?2＝94＋π. 体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π?2?22
32π
5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那
3
么这个三棱柱的体积是( )
A．963 B．163 C．243 D．483 解析：
选D 如图设球的半径R， 432
由πR3＝π，得R＝2. 33
∴正三棱柱的高h＝4.
13
设其底面边长为a，则·a＝2，
32
∴a＝43. 3
∴V＝×(43)2×4＝483. 4
6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )
9
64
A．24 cm2 B. cm2
3
2
C．(6＋25＋22)cm D．(24＋85＋82)cm2 解析：
选D 如图所示，依题意可知四棱锥P-ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，设M是AB的中点，N是CD的中点，连接PM、PN、MN，由题知PM＝AB＝4，MN＝4，则PN＝42，故此几何体的表面积为S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4111
＋×4×4＋2××4×25＋×4×42＝(24＋85＋82)cm2. 2227．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：如图所示，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以1OH＝R.
3
由勾股定理，有R＝r＋OH，又由题意得πr＝π，
1?29R，即R2＝. 则r＝1，故R2＝1＋??3?8
9π
由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.
2
9π答案： 2
8．(2014·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．
2222
解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h′＝×10×10＝50(1＋3)．
10
52＋?
156152?256
＝，因此表面积S＝×4×52×＋
2222?2?