200～300 300～400 400～500 500～600 600以上 合计
于是，120家企业平均利润为：
x=
250 350 450 550 650 —
19 30 42 18 11 120
4750 10500 18900 9900 7150 51200
?xf?f=
51200= 426.67（万元）； 120分组数据的标准差计算公式为： s=?(x?x)f?f?12i 手动计算须列表计算各组数据离差平方和(x－426.67)2f，并求和，再代入计算公式： 列表计算如下
组中值 x 250 350 450 550 650 合计
企业数（个）
f 19 30 42 18 11 120
(x－426.67)2f 593033.4891 176348.667 22860.1338 273785.2002 548639.1779 1614666.668
表格中(x－426.67)2f的计算方法：
方法一：将表格复制到Excel表中，点击第三列的顶行单元格后，在输入栏中输入：=(a3－426.67)* (a3－426.67)*b3，回车，得到该行的计算结果；
点选结果所在单元格，并将鼠标移动到该单元格的右下方，当鼠标变成黑“＋”字时，压下左键并拉动鼠标到该列最后一组数据对应的单元格处放开，则各组数据的(x－426.67)2f计算完毕；
于是得标准差：(见Excel练习题2.11)
s =?(x?x)f?f?12i=1614666.668=116.48（万元）。
120?1点击第三列的合计单元格后，点击菜单栏中的“∑”号，回车，即获得第三列数据的和。
方法二：将各组组中值x复制到Excel的A列中，并按各组次数f在同列中复制，使该列中共有f个x，120个数据生成后，点选A列的最末空格，再点击菜单栏中“∑”符号右边的小三角“▼”，选择“其它函数”→选择函数“STDEV” →“确定”，在出现的函数参数窗口中的Number1右边的空栏中输入：A1:A30，→“确定”，即在A列最末空格中出现数值：116.4845，即为这120个数据的标准差。(见Excel练习题2.11)
于是得标准差：
s =116.4845（万元）。 12.
解：（1）（2）两位调查人员所得到的平均身高和标准差应该差不多相同，因为均值和标准差的大小基本上不受样本大小的影响。
（3）具有较大样本的调查人员有更大的机会取到最高或最低者，因为样本越大，变化的范围就可能越大。 13. 解：（1）由于两组的平均体重不相等，应通过比较离散系数确定体重差异较大的组：
6
因为女生的离散系数为 V=
5s＝＝0.1 x50男生体重的离散系数为 V=
5s＝＝0.08 x60对比可知女生的体重差异较大。
（2） 男生：x=
60公斤5公斤＝27.27（磅），s ==2.27（磅）；
2.2公斤2.2公斤50公斤5公斤=22.73（磅），s ==2.27（磅）；
2.2公斤2.2公斤 女生：x= （3）68%；
（4）95%。
14. （1）要比较成年组和幼儿组的身高差异，你会采用什么样的指标测度值？为什么？
（2）比较分析哪一组的身高差异大？ 解：（1）应采用离散系数，因为成年人和幼儿的身高处于不同的水平，采用标准差比较不合适。离散系数消除了不同组数据水平高低的影响，采用离散系数就较为合理。
（2）利用Excel进行计算，得成年组身高的平均数为172.1，标准差为4.202，从而得：
成年组身高的离散系数：vs?4.2?0.024； 172.12.497?0.035； 71.3又得幼儿组身高的平均数为71.3，标准差为2.497，从而得：
幼儿组身高的离散系数：vs? 由于幼儿组身高的离散系数大于成年组身高的离散系数，说明幼儿组身高的离散程度相对较大。 15.
解：(1)下表给计算出这三种组装方法的一些主要描述统计量：
方法A 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 165.6 165 164 2.13 8 162 170 方法B 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 128.73 129 128 1.75 7 125 132 方法C 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 125.53 126 126 2.77 12 116 128 评价优劣应根据离散系数，据上得： 2.13
=0.0129， 165.61.75方法B的离散系数VB==0.0136，
128.732.77方法C的离散系数VC==0.0221；
125.53方法A的离散系数VA=
对比可见，方法A的离散系数最低，说明方法A最优。
7
(2)我会选择方法A，因为方法A的平均产量最高而离散系数最低，说明方法A的产量高且稳定，有推广意义。 、16 解：（1）方差或标准差；（2）商业类股票；（3）（略）。
第3章 概率与概率分布——练习题(全免)
1 .解:设A＝女性，B＝工程师，AB＝女工程师，A+B＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6
（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2
2. 解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A）的概率P(A)。 考虑逆事件A?“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。据题意，有：
P(A)?(1?0.2)(1?0.1)(1?0.1)?0.648
于是 P(A)?1?P(A)?1?0.648?0.352
3. 解:设A表示“合格”，B表示“优秀”。由于B＝AB，于是
P(B)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.15＝0.12
4.解:设A＝第1发命中。B＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。
P(B)＝P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9 脱靶的概率＝1－0.9＝0.1
或（解法二）：P(脱靶)＝P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1 5.解: 设A＝活到55岁，B＝活到70岁。所求概率为：
P(B|A)＝P(AB)P(B)0.63＝＝＝0.75 P(A)P(A)0.846.解:这是一个计算后验概率的问题。
设A＝优质率达95％，A＝优质率为80％，B＝试验所生产的5件全部优质。 P(A)＝0.4，P(A)＝0.6，P(B|A)=0.955， P(B|A)=0.85，所求概率为：
P(A|B)＝P(A)P(B|A)0.30951＝＝0.6115
P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.50612决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
7.解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得：P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.30， P(A3)＝0.45；P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.03；因此，所求概率分别为：
（1）P(B)＝P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.04＋0.30×0.05＋0.45×0.03＝0.0385
0.45?0.030.0135＝＝0.3506
0.25?0.04＋0.30?0.05＋0.45?0.030.03858.解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p＝24/(24+36)＝0.4。
（2）P(A3|B)＝
8
设途中遇到红灯的次数＝X，因此，X～B(3，0.4)。其概率分布如下表：
xi P(X= xi) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 期望值（均值）＝1.2（次），方差＝0.72，标准差＝0.8485（次） 9. 解:设被保险人死亡数＝X，X～B(20000，0.0005)。
（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。 （2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为： P(X>20)＝1－P(X≤20)＝1－0.99842＝0.00158 （3）支付保险金额的均值＝50000×E(X) ＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)
＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元） 10
解: （1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np=20000×0.0005=10，即有X～P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。
（2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。
本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995， 即有X ～N(10,9.995)。相应的概率为： P(X ≤10.5)＝0.51995，P(X≤20.5)＝0.853262。
可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。
【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。
（3）由于p＝0.0005，假如n=5000，则np＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。 11.解:（1）P(X?150)?P(Z?150?200)＝P(Z??1.6667)＝0.04779 30合格率为1-0.04779＝0.95221或95.221％。
(2) 设所求值为K，满足电池寿命在200±K小时范围内的概率不小于0.9，即有：
P(|X?200|?K)?P{|Z|＝即：P{Z?|X?200|K?}?0.9
3030K}?0.95，K/30≥1.64485,故K≥49.3456。 3012.解:设X ＝同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6,0.2)
（1）X的最可能值为：X0＝[(n+1)p]＝[7×0.2]＝1 （取整数） （2）P(X?2)?1?P(X?2)?1?＝1-0.9011＝0.0989
2k?0?C6k0.2k0.86?k
第4章 抽样与抽样分布——练习题(全免)
1. 一个具有n?64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。
⑴ 给出x的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差
⑵ 描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？
9
⑶ 计算标准正态z统计量对应于x?15.5的值。 ⑷ 计算标准正态z统计量对应于x?23的值。 解: 已知 n=64，为大样本，μ=20，σ=16，
⑴在重复抽样情况下，x的抽样分布的均值为
a. 20, 2 b. 近似正态 c. -2.25 d. 1.50 2 . 参考练习4.1求概率。
⑴x<16； ⑵x>23； ⑶x>25； ⑷.x落在16和22之间； ⑸x<14。 解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013
3. 一个具有n?100个观察值的随机样本选自于??30、??16的总体。试求下列概率的近似值：
解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699
4. 一个具有n?900个观察值的随机样本选自于??100和??10的总体。
⑴ 你预计x的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你认为x至多偏离?多么远？
⑶ 为了回答b你必须要知道?吗？请解释。
解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必
5. 考虑一个包含x的值等于0，1，2，…，97，98，99的总体。假设x的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个n值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算x。对于每一个样本容量，构造x的500个值的相对频率直方图。当n值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里n?2,n?5,n?10,n?30和
n?50。
解:趋向正态
6. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车
相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。 ⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样的分布以及x的均值和
方差是什么？证明你的回答；
⑵ 对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217
美元之间的概率呢？
解： a. 正态分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.938
7. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为??406克、标准差为??10.1克。监控这
一过程的技术人者每天随机地抽取36袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量x。
（1）描述x的抽样分布，并给出?x和?x的值，以及概率分布的形状；
（3） 假设某一天技术人员观察到x?400.8，这是否意味着装袋过程出现问题了呢，为什么？ 解： a. 406, 1.68, 正态分布 b. 0.001 c. 是，因为小概率出现了
8. 在本章的统计实践中，某投资者考虑将1000美元投资于n?5种不同的股票。每一种股票月收益率的均值为
??10%，标准差??4%。对于这五种股票的投资组合，投资者每月的收益率是r??ri月收益率的方差是?r2??25。投资者的每
n?3.2，它是投资者所面临风险的一个度量。
⑴ 假如投资者将1000美元仅投资于这5种股票的其中3种，则这个投资者所面对的风险将会增加还是减少？
请解释；
⑵ 假设将1000美元投资在另外10种收益率与上述的完全一样的股票，试度量其风险，并与只投资5种股票
10