湖南省蓝山二中2012届高三第六次月考数学（理）试题
(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、
推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、
简单几何体、空间向量)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
得分：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，则M∩N＝ A.{x|0 π 2.已知函数f(x)＝sin(2x－)，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒 4 成立，则α的值是 ππππA. B. C. D. 6342 3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，又知α∩β＝m，且n?α，n?β，则“n∥m”是“n∥α且n∥β”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为 A.6 B.9 C.12 D.18 5.若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N)，则f(1)＋f(2)＋?＋f(n) 1＋x＋f1(1)＋f2(1)＋?＋fn(1)＝ 9nA.n B. C. D.1 n＋1n＋1 6.已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b被m除得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，例如：5≡13(mod4).若22010≡r(mod7)，则r可以为 A.2008 B.2009 C.2010 D.2011 7.在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是 1123A. B. C. D. 3234 2 8.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x，函数g(x)＝错误!，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为 A.12 B.14 C.13 D.8 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (a－i)(1－i) 9.已知a是实数，是纯虚数，则a的值是 . i 10.若x1，x2，x3，?，x2009，x2010的方差是2，则3(x1－1),3(x2－1)，?，3(x2009－1),3(x2010 －1)的方差是 . x* 用心 爱心 专心 1 11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号) 12.已知函数f(x)＝－x＋ax－2b.若a，b都是区间[0,4]内的数，则使f(1)>0成立的概率是 . 13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x(单位：分钟)，且x～N(60,100)，已知P(x≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 . 2 14.已知关于x的方程9x－(4＋a)·3x＋4＝0有两个实数解x1，x2，则x＋x的最小值x1x2 2122 是 . 15.对有10个元素的总体{1,2,3，?，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A＝{1,2,3,4}和B＝{5,6,7,8,9,10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15＝ ，所有Pij(1≤i 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知向量m＝(3sin，1)，n＝(cos，cos2)，f(x)＝m·n. 4442π (1)若f(x)＝1，求cos(－x)的值； 3 1 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f(B) 2 的取值范围. 17.(本小题满分12分) 在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率 2 都是，且每道题答对与否互不影响. 3 (1)求该参与者获得纪念品的概率； (2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望. 18.(本小题满分12分) xxx 如图，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点. (1)求证：CA1⊥C1P； π (2)当AP为何值时，二面角C1－PB1－A1的大小为？ 6 用心 爱心 专心 2 19.(本小题满分13分) 已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R). (1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件； 1 (2)当函数f(x)在[，2]上单调时，求a的取值范围. 2 用心 爱心 专心 3 20.(本小题满分13分) 某旅游景区的观景台P位于高(山顶到山脚水平面M的垂直高度PO)为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰 2 三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sinα＝.现从 5 山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段?，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，?，Cn－1Cn(如图所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，?，Cn－1Cn1 与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝.试问： 4 (1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？ (2)若修建xkm盘山公路，其造价为x2＋100 a万元.修建索道的造价为22a万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少. 21.(本小题满分13分) 1x2x＋1 已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝. 21＋xx＋2 1* (1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的 an通项公式； (2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝＋bn<1； 33n－1 (3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·(). 107 参考答案 一、选择题 1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 解：由PA＋PB＋PC＝AB得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，故S△PBC∶S△ABC＝2∶3. 8.B 解：如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点， ann＋1 ，证明：b1＋b2＋? 故在区间[－5,0]上共有5个交点； 当x∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点. 用心 爱心 专心 4 二、填空题 9 13.159 64 14.2 解：原方程可化为(3x)2－(4＋a)·3x＋4＝0，∴3x1·3x2＝4，∴x1＋x2＝2log32，∴x1x2≤(log32)2. 2 x2(x1＋x2)2－2x1x24(log32)21＋x2∴＝＝－2≥2. 9.－1 10.18 11.①② 12. x1x2x1x2x1x2 1 15. 10 4 C3·C51 解：(1)由题意有：P15＝23＝. C4·C64111 (2)当1≤i C466 ＝1； 2 C114·C2 当5≤i C65 1 这样的Pij共有C26＝15个，故所有Pij(5≤i 5 1 当1≤i≤4,5≤j≤10时，Pij＝，这样的Pij共有4·6＝24，所有Pij(1≤i≤4,5≤j≤10) 4 1 的和为24·＝6， 4 综上所述，所有Pij(1≤i 1 2 1a＋b－c11 (2)∵acosC＋c＝b，∴a·＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝. 22ab22 π 又∵A∈(0，π)，∴A＝.(10分) 3 2ππBππ 又∵0 36262 3 ∴f(B)∈(1，).(12分) 2 17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A，则 1142232 P(A)＝1－P(A)＝1－[()5＋C1.(4分) 5()()]＝ 333243 232 故该参与者获得纪念品的概率为.(5分) 243 (2)ξ的可能取值为2,3,4,5， 242128 P(ξ＝2)＝()2＝；P(ξ＝3)＝C12··＝； 3933327212242130141 P(ξ＝4)＝C1＝；P(ξ＝5)＝C13()4()()＋C4()＝.(8分) 333273339 用心 爱心 专心 222 5