0348《数理统计》【 随堂练习】（3）2010-12-19 08:30:00 -- 09:50:00
1 设总体 自总体
服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数，
为来
的一个样本，求（N，p）的矩法估计。
答：1 因为
只需以 ，
分别
代 解方程组得
。
2 设总体 服从[a，b]上的均匀分布其中a，b为两个未知参数，样本 来自总体
，求未知参数a，b的矩法估计。
答：2 由 服从[a，b]上的均匀分布，易知
为求a，b的矩法估计量只需解方程组 得
。
3 设连续型总体 的概率密度为
的极大似然估计量
，并讨论
， 的无偏性。
来自总体
的一个样本，求未知参数
答：3 似然函数为
其中
因此
的极大似然估计量
是
的无偏估计量。
4 设总体 的概率密度为
，求未知参数
其中
的矩法估计与极大似然估计。
为未知参数，样本
来自总体
答：4 首先求数学期望
从而解方程 得 的矩法估计为 似然函数为 令
。
解得 的极大似然估计为
。
5 设 是取自正态总体
的一个容量为的样本，试证下列三个估计量都是μ的
无偏估计量：
，并指出其中哪一个方差较小。
答：5 由于 且
独立，故有
故它们均为μ的无偏估计，又由于1/2<5/9<5/8，所以第三个估计量的方差最小。 6 设
是取自正态总体
的一个样本，试证
是
的相合估计。 答：6 由于
服从自由度为
n-1的 -分布，故
从而根据车贝晓夫不等式有 所以是
是
的相合估计。
7 设 是取自具有下列指数分布的一个样本，
，证明
是θ
的无偏、相合、有效估计。
答：7 首先由于 无偏估计。 又
，故
，即样本均值是θ的
故C-R下界为
另外由车贝晓夫不等式
所以样本均值还是θ的相合估计。
，因此样本均值是θ的有效估计
8 设
是独立同分布随机变量都服从几何分布
则
是θ的充分统计量。
答：8 由于
的联合密度函数为
则由因子分解定理知
是θ的充分统计量。
9 设 数
是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布
，其密度函
试证（1） 是θ的无偏估计；（2）
是θ的UMVUE。
答：9（1）由 （2）
则由因子分解定理知 又若 即 故
，所以
，则
，两边对θ求导得
知
是θ的无偏估计；
是θ的充分统计量，其密度函数为
是完备充分统计量，由此得出
是θ的UMVUE。
10 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，试求总体均值 知。
的0.9的置信区间。（1）若已知σ=0.01（厘米），（2）若σ未
答：10（1）
置信度0。9，即α=0。1，查正态分布数值表，知 即
所以总体均值
的0。9的置信区间为
（2）σ未知
置信度0。9，即α=0。1，自由度n-1=15， 查t-分布的临界值表
所以置信度为 0。9的μ的置信区间是
11 某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。
答：11 设正态总体
分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有