答案: 因为???t??t2，所以质点的角速度??d????2?t，质点的角加速度为dt??d??2?，质点的切向加速度为a??R??2?R，质点的法向加速度为dt2an??2R????2?t?R．
47 题号：01047 第01章 题型：计算题 难易程度：难
???试题: 已知某质点的运动方程为r??a?bcos?t?i??c?dsin?t?j，取SI制，其中a、b、
c、d、?均为常量．（1）试证明质点的运动轨迹为一椭圆；（2）试证明质点的加速
度恒指向椭圆的中心；（3）试说明质点在通过图中给定点P时，其速率是增大还是减小？
答案: （1）由题意知??x?a?bcos?t，所以消去时间参数得质点的运动轨迹为
y?c?dsin?t?y ?v ?a??an(x?a)2(y?c)2??1（椭圆） b2d2P ?r (a,c?d)??ai?cj（2）质点的速度为
????????bsin?t?ir???dcos?t?j
o(a?b,c) ??r? x质点的加速度为
????????2bcos?tir???2dsin?tj
???????22?????a?bcos?t?i???c?dsin?t??j???ai?cj??
??????r?ai?cj
???????可见，质点的加速度与矢量r?ai?cj的方向相反，由图可知，加速度的方向恒
??指向椭圆的中心（a，b）
（3）当?t?0时，?位于(a,c?d)点．
由图可知，质点从(a?b,c)点向着(a,c?d)点运动，所以质点在作逆时针运动．在P点处，由于切向加速度a?与运动速度v的方向相反，所以质点通过P点时的速率在减小．
48 题号：01048 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
???x?a?b?x?a?质点位于(a?b,c)点；当?t?时，?，质点
y?cy?c?d2??????试题: 已知某质点在t?0时刻位于r0?2i?3j(m)点处，且以初速v0?0，加速度
???a?3i?4j(m?s?2)运动．试求：（1）质点在任意时刻的速度；（2）质点的运动方程．
??????dv答案: （1）由题意可知?3i?4j即dv?3i?4jdt，对其两边取积分有
dt????v?v0??t?dv??3i?4jdt
0?????所以质点在任意时刻的速度为v?3ti?4tj．
?????????dr（2）由v?3ti?4tj可得?3ti?4tj，即dr?3ti?4tjdt，对其两边取积分有
dt??????t??32?2即dr?3ti?4tjdtr?ti?2tj?r0 ?r?0?02?r????????3??所以代入r0?2i?3j可得质点的运动方程为r??t2?2?i??2t2?3?j．
?2?
49 题号：01049 第01章 题型：计算题 难易程度：难
???试题: 已知某质点的运动方程为r??2t?i??3t2?4?j(m)，试求：（1）t?1s时切向加速
度和法向加速度的大小；（2）t?1s时的曲率半径． ???答案: （1）因为 r??2t?i??3t2?4?j
??????dr?dv所以质点在任意时刻的速度和加速度分别为v??2i?6tj；a??6j
dtdt故质点在任意时刻速度的大小即速率为v?22??6t?2?21?9t2 于是质点在任意时刻切向加速度的大小为a??18tdvd ?21?9t2?2dtdt1?9t18?5.69m?s?2 1?9??由此可知，质点在t?1s时切向加速度的大小为a??质点在t?1s时法向加速度的大小为an?a2?a?2?62??5.69?2?1.91m?s?2
（2）因为质点在t?1s时速度的大小为v?21?9?12?210m?s?1
v240??21m 所以t?1s时的曲率半径为R?an1.91
50 题号：01050 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
???试题: 一质点在平面上作曲线运动，t1时刻位置矢量为r1??2i?6j，t2时刻的位置矢
???量为r2?2i?4j，求：（1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式；（2）该段时间内
???位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出r1，r2及?r．（题中r以m计，t以s计）
答案: （1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式为
??????r?r2?r1?(4i?2j)m
?r1y （2）该段时间内位移的大小为
??r?42?(?2)2?25m
??r?r2 x
o该段时间内位移的方向与x轴的夹角为
??tan?1???2?0???26.6 ?4? （3）坐标图上的表示如图．
51 题号：01051 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 某质点作直线运动，其运动方程为x?1?4t?t2，其中x以m计，t以s计．求：（1）第三秒末质点的位置；（2）头三秒内的位移大小；（3）头三秒内经过的路程． 答案: （1）第三秒末质点的位置为x(3)?1?4?3?32?4m
（2）头三秒内的位移大小为x(3)?x(0)?3m （3）因为质点作反向运动时有v(t)?0，所以令
dx?0，即4?2t?0，t?2s，因dt此头三秒内经过的路程为x(3)?x(2)?x(2)?x(0)?4?5?5?1?5m
52 题号：01052 第01章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 已知某质点的运动方程为x?2t,y?2?t2，式中t以s计，x和y以m计．（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末和2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度．
答案: （1）由质点运动的参数方程x?2t,y?2?t2消去时间参数t得质点的运动轨迹为
x2y?2?,(x?0)
4y (0,2) o (22,0)x
运动轨迹如图所示．
（2）根据题意可得质点的位置矢量为
???2r?(2t)i?(2?t)j
所以t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度为
?????r??r(2)?r(1)v???2i?3j(m?s?1)
?t2?1（3）由位置矢量求导可得质点的速度为
??????2iv?r?(2t)j
??????所以1s末和2s末质点的速度分别为v(1)?2i?2j(m?s?1)和v(2)?2i?4j(m?s?1)．
????（4）由速度求导可得质点的加速度为a?v??2j
所以1s末和2s末质点的加速度为a(1)?a(2)??2j(m?s-2)
53 题号：01053 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸如图所示．设绳子的原长为l0，人以匀速v0拉绳，试描述小船的运动．
答案: 建立坐标系如图所示．按题意，初始时刻（t?0），滑轮至小船的绳长为l0，在此后某时刻t，绳长减小到l0?v0t，此时刻船的位置为
x?v0l0????v0 H ?l0?v0t?2?H2
x l0 oH 这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为
v?dx??dt? ?l0?v0t?v0?l0?v0t?2?H2??v0 cos?将其对时间再求导可得小船的加速度为
dva???dt2v0H2??l0?v0t??H223???2v0H2x3
其中负号说明了小船沿x轴的负向（即向岸靠拢的方向）作变加速直线运动，离岸越近（x越小），加速度的绝对值越大．
54 题号：01054 第01章 题型：计算题 难易程度：容易 试题: 大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布．这种鱼跃出水面的速度可达32km?h?1．它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？
答案: 鱼跃出水面的速度为v?32km?h?1?8.89m?s?1，若竖直跃出水面，则跃出
v2h??4.03m
2g此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人所跳高度的两倍．
55 题号：01055 第01章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 一人站在山坡上，山坡与水平面成?角，他扔出一个初速为v0的小石子，v0与水平面成?角（向上）如题图所示．（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上
22v0sin(???)cos?距离抛出点为S处，有S?．（2）由此证明对于给定的v0和?值时
gcos2?2v0(sin??1)??. S在???时有最大值Smax?gcos2?42?v0 答案: （1）建立如题图所示的坐标系，则小石
? oy子的运动方程为 ?S v0 ?x??v0cos??t? ??12 ? ??y?vsin?t?gtx 0?o2? S 当小石子落在山坡上时，有 ? ?x?Scos? ?y??Ssin??联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上时所经历的时间）t所满足的方程为
t2?2v0(sin??tan?cos?)t?0 g解之得