函数的对称性与周期性(2)

定理2：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b，则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对称. 推论3：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0，则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称. 推论4：如果函数y?f?x?满足f?x??f??x??0，则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. （三）．总规律：定义在Ｒ上的函数y?f?x?，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 （四）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性。 性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝f(x)。 （3）f(2a＋x)＝f(－x)。 性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝－f(x)。 （3）f(2a＋x)＝－f(－x)。 注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。 y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。 2、复合函数的奇偶性。 性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。 性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。 性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。 3、函数的周期性。 性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下 列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a)， ②f(x＋a)＝－f(x)， ③f(x＋a)＝1/f(x)， ④f(x＋a)＝－1/f(x)。 4、函数的对称性与周期性。 性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为 周期函数，且T＝2|a－b|。 性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。 性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称， 则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。 5、复合函数的对称性。 性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线 x＝(b-a)/2轴对称。 性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点 ((b-a)/2,0)中心对称。 推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴 轴对称。 推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点 中心对称。 三．例题精讲 1．已知定义为R的函数f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的值（A ）. A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. 分析：f??x???f?x?4?形似周期函数f?x??f?x?4?，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x?2代替x，使f??x???f?x?4?变形为 f?2?x???f?x?2?.它的特征就是推论3.因此图象关于点?2,0?对称.f?x?在区间?2,???上单调递增，在区间???,2?上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位. ?2?x2?4?x1，且函数在?2,???上单调递增，所以 f?x2??f?4?x1?，又由f??x???f?x?4?， 有f(4?x1)?f???x1?4???f?x1?4?4???f?x1?， ?f?x1??f?x2??f?x1??f?4?x1??f?x1??f?x1??0.选A. 当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A. 2：在R上定义的函数区间[1,2]上是减函数，则 且f(x)?f(2?x).若f(x)f(x)是偶函数，f(x)( B ) 在A.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?2,?1]D.在区间[?2,?1]分析：由f(x)?上是减函数，在区间[3,4]上是减函数，在区间[3,4]f(2?x)可知上是增函数 上是增函数 即推论f(x)图象关于x?1对称，的应用.又因为f(x)为偶函数图1象关于x?0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B 3.定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ D ） A.0 B.1 C.3 D.5 分析：f(T)?f(?T)?0，f(?∴f(?T2)?f(T2T2)??f(T2)?f(?T2?T)?f(T2)， )?0，则n可能为5，选D. 4．已知函数f?x?的图象关于直线x?2和x?4都对称，且当0?x?1时，f?x??x.求f?19.5?的值. 分析：由推论1可知，f?x?的图象关于直线x?2对称，即f?2?x??f?2?x?， 同样，f?x?满足f?4?x??f?4?x?，现由上述的定理3知f?x?是以4为周期的函数. ?f?19.5??f?4?4?3.5??f?3.5??f?4???0.5???f??0.5?，同时还知f?x?是偶函数，所以f??0.5??f?0.5??0.5. 5．f?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x?，则f?0?，f?1?，f?2?，?，f?999?中最多有（ B ）个不同的值. A.165 分f B.177 析： C.183 由 D.199 已知?x??f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x?1056? ?f?x?1760??f?x?704??f?x?352?. 又f有f?398?x??f?2158?x??f?3214?x??f?x???x?1056? ?f?1102?x??f?1102?x?1056??f?46?x??f??2158??1056?x???， 于是f(x)有周期352，于是?f?0?,f?1?,?,f?999??能在