(§11.5 文)（§12.5 理） 曲线与方程及轨迹问题
知识要点梳理
本节主要内容是曲线与方程的概念及轨迹方程的求法.
一．“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二．求曲线（轨迹）方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
1.求用直接法曲线（轨迹）方程的基本步骤：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标，设曲线上任一点坐标M(x,y)；
（2）列几何等式：写出适合条件的点的集合P={M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；
（3）化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；
（4）化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式；
（5）证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程。
除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤（5）可以省略不写。如有特殊情况，可适当加以说明，步骤（2）也可省略。
3．求曲线轨迹方程应注意的问题
（1）要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；
（2）若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；
（3）曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型。
疑难点、易错点剖析
1.求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 2.求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)?0； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
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③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 3.值得注意的几点：
①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
直击考点
考点一、用直接法求点的轨迹（方程）
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2?y2?1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数?(??0)，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则MNx?y?1??222?MO2?ON2。设M(x,y),则
(x?2)?y22 化简得(?2?1)(x2?y2)?4?2x?(1?4?2)?0
54（1） 当??1时，方程为x?，表示一条直线。
2?2222（2） 当??1时，方程化为(x???1)?y?1?3?222(??1)表示一个圆。
锦囊妙计：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
举一反三：（待定系数法）在?PMN中，tan?PMN?12,tan?MNP??2，且?PMN的
面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。
yPPM M N ON Qx 思路分析：如上图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角
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坐标系，则所求椭圆方程为
xa22+
yb22=1.显然a、b是未知数，但a、b与已知条件没有直
2222
接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.
解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，
令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－于是S△PMN=
43121212m.
m=
123232m. m·m=1.
13|MN|·|PQ|=
43·
因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=3.
|MP|=|MQ|2?|PQ|2=
16313?43=
2153，
|NP|=|NQ|2?|PQ|2=
?43=
153.
以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为（a＞b＞0）.
则2a=|MP|+|NP|=15， 2c=|MN|=3， 故所求椭圆方程为
4x152xa22+
yb22=1
+
y23=1.
解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0， 则
yx?cyx?c =
12，
=2，
y·c=1，
解之，得x=
536，y=
233，c=
32.
设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则 b2·（
536）2+a2（，
233）2=a2b2，
a2－b2=
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解之，得a=（以下略）
2
154，b=3.
2
考点二、用定义法求轨迹方程
例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？
解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有MA?AP?MB?BP，即
MA?MB?PB?PA?50?AB?507，故M在以A，B
为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为
x2625?y23750?1(x?25),故运土时为了省工，在双曲线弧左侧
的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。
锦囊妙计：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。
举一反三： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。
解：由中垂线知，PA?PM故PA?PO?PM?PO?OM?10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为(x?3)252?y216?125
考点三、用代入法求轨迹方程： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。
解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故
32y?y1x?x1x?12?1，即x-y+y1-x1=0 ②
1232由①②解方程组得x1?y?1,y1?x?y?1, 代入双曲线方程即可得P点的轨
迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
举一反三：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)
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考点四、用参数法与点差法求轨迹方程：
例4 经过抛物线y=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。
解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k?0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为(2pk22
?2p,2pk)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y??1k(x?2p)，与抛
物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p?2p,?2kp)，又M为BC中点，设M（x,y）,??x?则??y??pkpk2?kp?2p2，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。
?kp考点五、用交轨法与几何法求轨迹方程 例5 抛物线
y2?4px(p?0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求
抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
思路分析：点M是OM与AB的交点，点M随着A、B两点的变
化而变化，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数.
解法一（交轨法）：点A、B在抛物线y?4px(p?0)上，设A（
2yA4p2,yA)，B（
yB4p2,yB)所以kOA=
4pyA kOB=
4pyB,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得
2y?yA?yA?yBy2A4p?y2B(x?yA4p)，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p代入得AB方程
2
4p（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为 y?yA?yB?4Px ②
22222由①②消去得yA+yB即得x?y?4px?0， 即得(x?2p)?y?4p。
所以点M的轨迹方程为(x?2p)?y?4p，其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.
∴kOA=
2t1222，kOB=
2t2，kAB=
2t1?t2.
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