∵OA⊥OB，∴t1·t2=－4. ∴AB方程是y－2pt1=①
直线OM的方程是y=－②
①×②，得（px）t1+2pyt1－（x+y）=0. ③
∴直线AB的方程还可写为 y－2pt2=④
由②×④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0. ⑤
由③⑤可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2－（x2+y2）=0的两根. 由根与系数的关系可得 t1t2=
?(x22t1?t2（x－pt12），
t1?t22x.
2
2
2
2t1?t2（x－pt2）.
2
?y)2px.又t1·t2=－4，
∴x2+y2－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.
故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b， 由OM⊥AB得k=－
2
xy.
由y=4px及y=kx+b消去y，得 k2x2+x（2kb－4p）+b2=0. 所以x1x2=所以y1y2=
bk22.消去x，得ky2－4py+4pb=0.
4pbk.由OA⊥OB，
得y1y2=－x1x2， 所以
4pkk=－
bk22，b=－4kp.
故y=kx+b=k（x－4p）. 用k=－
xy代入，得
x2+y2－4px=0（x≠0）.
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解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx， 显然k≠0，则直线OB的方程为y=－
1kx.
y=kx， 4p4p解得A点的坐标为（2，）， 由 2
y=4px， kk2
类似地可得B点的坐标为（4pk，－4pk）， 从而知当k≠±1时，
yAOMBx
4p(1kAB=
4p(k12?k)
?k)2k=
11k?k.
故得直线AB的方程为y+4pk=
11k?k（x－4pk），即（
2
1k－k）y+4p=x， ①
直线OM的方程为y=－（
1k－k）x. ②
可知M点的坐标同时满足①②，
22
由①及②消去k便得4px=x+y， 即（x－2p）2+y2=4p2，但x≠0，
当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程. 故点M的轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0），
它表示以点（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆. 解法五（几何法）：由解法1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几何性质可知：M点的轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆。所以方程为(x?2p)?y?4p，除去点（0，0）。
锦囊妙计：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查考生能力的一道好题. 考点六、用点差法求曲线的方程： 例6如图，P是抛物线C：y?12x上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。若
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直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。
yQMTPOlSx 思路分析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程.
解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意知，x1?0,y1?0,y2?0 由y?12x （1）
2得y/?x，?过点P的切线的斜率k切＝x1，
?直线l的斜率kl??1x1??1x1，?直线l的方程为y?12x1??21x1 (x?x1) （2）
方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y得，x2?x1?x21?x????02x1?. ? M为PQ的中点，??11?y?x2?(x0?x1)01?2x1?2x1x?x1?2?0
2消去x1,得y0?x0?212x02?1(x0?0).
12x2? PQ中点为M的轨迹方程为y?x?2?1(x?0)
方法二（点差法）由y1?得y1?y2?则x0?12x1?212x1,y2?12212x2,x0?2x1?x22,
12x2?2(x1?x2)(x1?x2)?x0(x1?x2)
y1?y2x1?x2?kl??1x1,?x1??1x0。
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2将上式代入（2）并整理，得y0?x0?12x20?1(x0?0). 12x2?
PQ中点为M的轨迹方程为y?x2??1(x?0)
锦囊妙计：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。
举一反三:
当点P在抛物线C上移动时，求点M到x轴的最短距离. 提示：∵x≠0，x>0，∴y=x+
2
2
12x2+1≥2
12+1=2+1，当且仅当x=
2
12x2，x=±412时等号成立，即点M到x轴的最短距离为2+1.
误区警示
[例] 直线l:y?k(x?5)与圆O：x2?y2求弦AB的中点M的轨迹方程。
222
[常见错误]易知直线恒过定点P（5，0），再由OM⊥AP，得|OP|=|OM|+|MP|，
?x?y?(x?5)?y2222?16相交于A、B两点，当K变动时，
?25，整理得：(x?52)?y22?254.
[错因分析及对策]求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时应考虑0?x?165522。
[正解] 易知直线恒过定点P（5，0），再由OM⊥AP，得|OP|2=|OM|2+|MP|2，
?x?y?(x?5)?y2222?25，整理得：(x?)?y2?254.
5225?2(x?)?y?.?∵∴点M应在圆内，故所求得轨迹为圆内的部分。解方程组?24
?x2?y2?16?得两曲线交点的横坐标为x?165，所求轨迹方程为(x?52)?y22?254.（0?x?165）。
紧扣考纲大演练
一.单项选择题
（理）1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是
A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B
（文） 1、已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹是（ D ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
(理)2、一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是（ C ）
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2 A、双曲线 B、双曲线的一分支 C、圆 D、椭圆 （文）2、已知|AB|?3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP?则动点P的轨迹方程是（A ） A、
x213OA?23OB4?y2?1 B、x?2y24?1 C、
12x29?y2?1 D、x?2y29?1
（文）3、已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0)，且
|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的
轨迹是（ D ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、线段
（理）3.已知双曲线的两个焦点为F1（－5，0）、F2（5，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是
A.C.
xx222－
y232
=1 B.
x232
－
y2y22=1
4－y=1 D.x－
xa224=1
解析：设双曲线的方程为由题意||PF1|－|PF2||=2a， |PF1|2+|PF2|2=（25）2. 又∵|PF1|·|PF2|=2，
∴a=2，b=1. 故双曲线方程为
x2－
yb22=1.
4－y2=1.
答案：C
（理）4.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是
A.y－C.y－
22
xx2482＝1（y≤－1） B.y－＝－1 D.x－
2
2
xy2482＝1 ＝1
4848解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，
｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，
∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.
故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48， 所以轨迹方程为y－答案：A
（文）4.已知M（－2，0）、N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质.
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2
x248＝1（y≤－1）.