答案：C
5、（2006年四川卷）已知两定点A??2,0?,B?1,0?，如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（B）
（A）9? （B）8? （C）4? （D）?
(文)6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－
A.C.
xx223，则此双曲线的方程是
xx232－－
yy242=1 B.=1 D.
xaxa222242－－
yy232=1 =1
5225解析：设双曲线方程为－
yb22=1.
将y=x－1代入
2
2
－
2
yb22=1，
2
22
整理得（b－a）x+2ax－a－ab=0. 由韦达定理得x1+x2=
2a2222
，
a?b23x1?x22=
a222a?b=－.
由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.
答案：D
(理)6、（2006年湖北卷）设过点P?x,y?的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、
B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA，且OQ?AB?1，
32y2则P点的轨迹方程是（D） A. 3x? C.
322232y2?1?x?0,y?0? B. 3x?2?1?x?0,y?0?
2x?3y2?1?x?0,y?0? D.
32x?3y2?1?x?0,y?0?
解选D.由BP?2PA及A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(32x,0),
????3AB?(?x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(?x,y)，B(0,3y)，
2????????332????2OQ?AB?(?x,3y)?(?x,y)?x?3y?1(x?0,y?0)。 OQ=(?x,y)，则
22二.填空题
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（文）7、一动圆与两圆⊙M：x2?y2?1和⊙N：x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
(理)7、过抛物线x2?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：x2?2y?2）； （文）8.F1、F2为椭圆
x24+
y23=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2
的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________.
解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=
12F2B=2，∴动点D的轨迹方程为
x2+y2=4.
22
答案：x+y=4
（理）8.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 △ABC的重心G的轨迹方程为________________. 解析：设A（x0，y0），
∵tanB+tanC=3， ∴
y0x0?1－
y0x0?5=3，点A的轨迹方程为y0=－
34（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若
y0373G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－
答案：y－1=－
94941131?5?x032
，y=
，∴x0=3x－6，且y0=3y.
113（x－3）（x≠）
且x≠）.
（x－3）（x≠
2
73且x≠
（理）9、由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，
则动点P的轨迹方程为
（答：x2?y2?4）；
（文）9.曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________. 解析：代入法（或相关点法）.
答案：（x－6）2+4（y－10）2=4
（文）10、点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y?16x）
（理）10.与圆x2+y2－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________. 解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.
答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0） 三.解答题 （文）11.（07温州模拟）自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.
解：设P（x1，y1）、R（x，y），则Q（－∴OP的方程为y=
y1x1122，y1）、F（
12，0），
x， ①
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FQ的方程为y=－y1（x－由①②得x1＝
2
12）.
2y1?2x ，
②
2x1?2x，y1＝
2
代入y＝2x，可得y＝－2x2+x.
（理）11. 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
（1）准线是y轴； （2）顶点在x轴上；
（3）点A（3，0）到此抛物线上动点P的距离最小值是2.
解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y＝4a（x－a）（a≠0）， 设P（x0，y0），则y0＝4a（x0－a）， ｜AP｜＝（x0－3）＋y0 ＝［x0－（3－2a）］2＋12a－8a2， 令f（a）＝｜AP｜2， ①当a＞0时，有x0≥a， 当3－2a≥a即a∈（0，1］时， ｜AP｜2＝f（3－2a），∴a＝1或a＝
2
2
2
2
2
2
2
12；
12抛物线方程为y＝4（x－1）或y＝2（x－
2
）.
当3－2a＜a即a＞1时，｜AP｜＝f（a）. ∴a＝5或a＝1（舍），
2
抛物线方程为y＝20（x－5）. ②当a＜0时，显然与已知矛盾，
∴所求抛物线方程为y2＝4（x－1）或y2＝2（x－
12）或y2＝20（x－5）．
（理）12.AB是圆O的直径，且｜AB｜＝2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，
在OM上取点P，使｜OP｜＝｜MN｜，求点P的轨迹.
解：以圆心O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O的方程为x＋y＝a，设点P坐标为（x，y），并设圆与y轴交于C、D两点，作PQ⊥AB于Q，则有
|OP||OM|2
2
2
＝
|PQ||MN|.
yDP A O M Q N B x C ∵｜OP｜＝｜MN｜，
∴｜OP｜2＝｜OM｜·｜PQ｜.
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∴x+y＝a｜y｜，即 x＋（y±
222
a2）＝（
2
a2）.
2
轨迹是分别以CO、OD为直径的两个圆.
2
（文）12.过抛物线y=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.
解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x－1），代入y2=4x，
得kx－x（2k+4）+k=0.
设l方程与抛物线相交于两点，
∴k≠0.设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）， 根据韦达定理，有x1+x2=
2(k22222
?2)2，
k4k从而y1+y2=k（x1+x2－2）=.
设△AOB的重心为G（x，y）， x=则 y= ∴y2=
430?x1?x230?y1?y2389==
234+
43k2，
消去k，得x=
233k，
+
43（
34y），
2
x－
23.当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB
43的重心G（
，0），也适合y2=
x－
4389，
89因此所求轨迹C的方程为y2=
x－.
（文）13.已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=－kx.
（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P（x，y）为动点，则
|y?kx|1?k22+
|y?kx|1?k2222=a，
整理得
x(1?k)a2k2+
y22(1?k)a2=1.
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆； 当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.
（2）解：设点P（x，y）为动点，则
2|y－kx|+|y+kx|=c1?k.
2当y≥k|x|时，y－kx+y+kx=c1?k，
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即y=
12c1?k2；
12当y≤－k|x|时，kx－y－y－kx=c1?k2，即y=－c1?k2；
12k当－k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx－y+y+kx=c1?k2，即x=c1?k2；
12k当－k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y－kx－y－kx=c1?k2，即x=－综上，动点的轨迹为矩形.
c1?k2.
（理）13、（2006年全国卷I）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F10,?3和F20,3为焦点、离心率为
3????的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点
2?????????????P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
?????（Ⅱ）OM的最小值。
ce解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为圆的方程为
x?2a??2，半短轴长b?1，即椭
y42?1。
0????2），则
设点P坐标为（cos?，2sin?）（其中切线C的方程为：
1xcos??y2sin??1
2点A坐标为：（cos?，0），点B坐标为（0，sin?）
1222点M坐标为：（cos?，sin?）
?2??1?????1??x所以点M的轨迹方程为：???y?（x?0且y?0）
（II）等价于求函数
2f????2?1??2??0?????????cos???sin?? （其中2）的最小值
224?1??2?222g??????5?9??????1?tan???4?1?cot???tan??2tan??cos???sin??
42tan??2tan?时等号成立，此时即tan??2。 当
?????OM?gmin????336min因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。
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