?O1?????T??????(?i?ji??j)Ej?????1?T， ???Ot??其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j?1,2,...,t). 因T可逆，且?i??j，所以有
r(Aj)?r(?(?i??j)Ej)?r(Ej)?sj(j?1,2,...,t).
i?j 再证充分性：用反证法.
假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数?代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(?qE?Q)?n?sq，于是当j?q时，由引理3有
sj?r(?(?iE?Q))??r(?iE?Q)?(t?2)n
i?ji?j??(n?sj)?(t?2)n
i?j?(t?1)n?(t?2)n??si
i?j?n?(n?sj)?sj.
矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.
定理7 ?1,?2,...,?t(互不相同)是n级方阵Q?Pn?n的所有特征根，若对任意m?Z?满足r(?iE?Q)m?r(?iE?Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.
证明：设?1,?2,...,?t的重数分别为s1,s2,...,st，由Cayley?Hamilton第三版，高等教育出版社)得：
定理(高等代数
(?1E?Q)s1(?2E?Q)s2...(?tE?Q)st?O，
再有引理3的推论就有
r(?1E?Q)s1?r(?2E?Q)s2?...?r(?tE?Q)st
?(t?1)n?r((?1E?Q)s1...(?tE?Q)st)
?(t?1)n.
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对任意正整数m，有r(?iE?Q)m?r(?iE?Q)，因此
r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...?r(?tE?Q)?(t?1)n.
从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为
n?r(?1E?Q)?n?r(?2E?Q)?...?n?r(?tE?Q) ?tn?[r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...r(?tE?Q)]
?tn?(t?1)n?n.
又r(Q)?n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.
定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似?矩阵Q的最小多项式mQ(?)无重根. 证明：先证必要性.
Q和对角阵相似?存在非奇异矩阵T?Pn?n，满足
??1??Q?TVT?1?T?????2????1T， ????n??
从而有T?1QmT?Vm，令?1,?2,...,?t(t?n)是方阵Q的互不相同的特征值,记 f(?)?(???1)(???2)..?.(??t) =?t?s1?t?1?...?st?1??st. 因为 T?1f(Q)T?T?1(Qt?s1Qt?1?..?.st?1Q?stE)T
?T?1QtT?s1T?1Qt?1T?...?st?1T?1QT?stT?1ET
=Vt?s1Vt?1?...?st?1V?stE?f(V).
又 f(V)?Vt?s1Vt?1?...?st?1V?stE
??1t?? ?????
t?2??s1?1t?1??????????t???n??t?1s1?2??st?????...??????t?1??s1?n??st???? ??st??12
??1t?s1?1t?1?...?sk?? ??????f(?1)?? ?????f(?2)?tt?1?2?s1?2?...?sk???? ??tt?1?n?s1?n?...?sk???????0. ?f(?n)??所以f(Q)?0，于是mQ(?)f(?)，然而f(?)无重根，故mQ(?)无重根.
再证充分性：mQ(?)的互不相同的根是?1,?2,...,?t，由mQ(?)无重根就有：
mQ(?)?(???1)(???2)...(???t?1)(???t)，于是
mQ(Q)?(?1E?Q)(?2E?Q)...(?tE?Q)?0.
令r(?iE?Q)?qi，则?i的特征子空间的维数为n?qi，因此Q总共有
(n?q1)?(n?q2)?..?.(n?qt)?s个线性无关的特征向量，且s?n. 又因为
q1?q2?...?qt?(t?1)n，故
s?(n?q1)?(n?q2)?...?(n?qt)?n.
从而s?n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.
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4某些特殊矩阵的对角化
4.1 实对称矩阵的对角化问题
实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.
引理5 ]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A?Cn?n，可逆矩阵T，使得
*???1???2??T?1AT??，其中?1,?2,...,?n是矩阵A的特征值. ??????n???引理6 实对称矩阵的特征值为实数.
证明：设?0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量
?x1????x????2?，
????x??n?满足 A???0?. 令
?x1????x????2?，xi称为xi的共轭复数(i?1,2,...n)，则A???0?.
????x??n?观察下面式子
??(A?)???A???(A?)???(A?)??，
上式左边等于?0???，右边等于?0???， 故
?0???=?0???,
又
????x1x1?...?xnxn?0，
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故?0??0，即?0是一个实数.
引理7 设M,N为n?n实方阵，我们有如下结论：
M,N在实数域上相似?M,N在复数域C上相似.
证明：必要性显然，下面证明充分性.
M,N在复数域上相似??n级可逆复矩阵，使得M?P?1NP.
令P?A?iD，A ,D?Rn?n，则(A?iD)M?N(A?iD)?AM?NA,DM?ND.所以对任意?属于R都有
(A??D)?N(A??D) ?? (4)
记h(x)?A??D(实数系多项式)，因为h(i)?A?iD?P?0，所以h(x)?0. 因此，A??D有有限个实数根，则存在?属于R，使得A??D?0. 由(4)式得M?(A??D)?1N(A??D), 也即M,N在实数域上相似. 定理9 ⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数?存在正交矩阵T，满足
T?1AT?T?AT?D，D是上三角矩阵.
⑵A正交且特征值全是实数?A是对称矩阵.
证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得
*???1?????2P?1AP???. ?????n???再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令
P?QT为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是
就有
*???1???2??Q?1AQ?T(P?1AP)T?1??? ?????n???由T是上三角矩阵知他的逆T?1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q?1AQ为上三角矩阵.
再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q?1AQ?Q?AQ为上三角矩阵，即
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