看出此时正交矩阵A有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A可对角化.
?10???10?当cos2??1?0，即cos???1时，A?????或????，此时正交矩阵A显然
?01??0?1?与对角矩阵相似.
定理16若 A????co?ssin????sin?co?s???，那么A与对角矩阵相似. 该定理的证明与定理⑴类似，在此不做赘述.
4.6.2几类三阶正交矩阵的对角化
?b110?定理17正交矩阵A??0?0b?22b23?可对角化.
??0b32b33??证明：由A是正交矩阵可得，a11??1.
?0?当b?1011?1时，A??0cos??sin????， ?0sin?cos???1??00?E?A?0cos????sin??(1??)(?2?2?cos??1). 0sin?cos???i)当cos2??1?0时，矩阵A有三个不同的特征值，分别为
?1?cos??cos2??1，?2?cos??cos2??1，?3?1.
由定理1可得矩阵A可对角化.
ii)当cos2??1?0时，??2k?或??2k???(k?Z).
?100?若??2k?，则A???010??，显然可对角化.
??001???100?若??2k???，则A???0?10??，显然可对角化.
??00?1?? 21
0?1?0??当b11??1时，A??0cos??sin???， ?0sin?cos????1??00?E?A?0cos???sin??(?1??)(?2?1). 0sin??cos???从而A的特征值为?1??2??1（二重），?3?1，由定理5或7得A可对角化. 定理18若三阶正交矩阵A中只有三个非零元素，那么A与对角矩阵相似. A共有下面6种形式：
??b1100?0??b13??00??00b13??0b12?0b0???,?b110,0??22?00b??0023??0b0?b12?,??00b??23?,?b210?,??b210?00b33????0b320???22?b3100????b3100????0b320????00?b1100? 证明 (1)A???0b??220?显然可以对角化.
?00b33???b1100a11??00 (2)A????00b?23?，则A??E?0??a?23?(a11??)(?2?a23a32). ?0b320??0a32??当a23a32?1时，A有特征值1,?i或?1,?i，根据定理1，A可对角化. 当a23a32??1时，A有特征值-1（二重），1，根据定理7，A可对角化. 其它形式可模仿(2)进行证明.
5矩阵对角化的应用
本节主要讨论可对角化矩阵的应用问题，很多时候我们利用对角化后的矩阵会极大简便我们的计算，方便我们理解和处理比较复杂的问题.
5.1求方阵的高次幂
一般来说，求矩阵的高次幂最简单的方法便是根据矩阵乘法的定义进行傻瓜式的
22
0?0??b33??
计算，像这样的计算除非进行编程用计算机进行计算，人工计算会花费大量时间，还很容易出错. 但是针对可以对角化的矩阵，我们利用矩阵相似的性质便会大大简化计算过程，而且不易出错，用这种方法进行编程计算也会方便很多. 下面先介绍这种方法的原理.
??1??????2定理19若T?1AT???，这里?i(i?1,2,...n)为A的特征值，T非奇?????n???异，则
m??1??T?1AmT??????m2???，其中m为正整数. ???m??n?这个定理是矩阵相似应用的特殊情况，一般来讲，若T?1AT?B，那么T?1AmT?Bm.其中m为正整数，B为数域上的任意矩阵.
?12?例2 求??41??.
??m?12?解：由?E???41???(??1?22)(??1?22)得
???1?1?22，?2?1?22.
容易求得他们对应的特征向量分别为
??1??1????， ?1???，?2?????2??2?故
?12???1??41????????21??1?220???1??????2?2??01?22???1??. 2???1从而
?12???1??41?????2???
m1??1?220??????2??01?22??m??1??2?1?? 2??23
?1
??1???2?1??1?220??????2??01?22??m?1???2?1??2m2??4? 1??22???=????mm1 ?1-22?1?22????2?mm2?1?22-1-22????2????????????. 22?mm1??1-22?1?22?????2?21-22-4?1?22????m???
5.2利用特征值求行列式的值
例3 已知n级实对称幂等矩阵A的秩为r，求行列式2E?A.
解：A为幂等矩阵，即A2?A，从而A的特征值为??1或0，再由A是实对称矩阵，所以A与对角矩阵相似，从而
?ErP?1AP???O?这里P可逆，r为A的秩，Er为单位矩阵. 故
O???B， ?O?2E?A?2PP?1?PBP?1?
Er2En?r?2n?r.
6总结
前面初步介绍了判定某个数域上矩阵是否对角化的一些充分必要条件和充分条件，但是判定条件也不局限于文中所给出的. 文中给出了大部分定理的证明，内容较多，需要较广的知识面才能理解；还给出一些特殊矩阵的对角化也只是涉及很少的点，其它方面需要读者根据自己研究的领域进行总结；还给出两点矩阵对角化的具体应用，仍然涉猎较少，只是起一个引导作用. 矩阵的对角化定义还能推广以及在群、域等上面的对角化判定也有所不同，希望广大读者倾注时间在这方面的研究.
24
致 谢
在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘先平老师和詹建明老师表示最真挚的谢意. 这篇论文从选题、查阅资料到截稿，我花了三个多月. 在此期间，詹老师和刘老师给我推荐选题以及资料，不厌其烦的解答我所有的疑问，他们严谨治学和蔼可亲的态度将一直影响我.
25