*???1?????2Q?1AQ???Q?AQ， ??????n???由此易知?1,?2,...,?n为实数且为A的特征根.
⑵由⑴容易得到Q?1AQ?Q?AQ?D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵. 因而D??D?1，但是D?1是上三角矩阵，而D?为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A??(QDQ?)??QD?Q??QDQ??A，也即A为对称矩阵.
引理8 设?是对称变换，V1是??子空间，则V1的正交补也是??子空间. 定理10 对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T?AT?T?1AT为对角矩阵.
证明定义?是与A对应的对称变换，只要证?有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.
当n?1时结论明显成立.
假设对n?1结论成立. 对n维欧氏向量空间Rn，?1为线性变换?的一个特征向量，对应的特征值是?1. 将?1单位化，并记为?1，再作?1的生成向量空间L(?1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换?的不变子空间，他的维数为n?1，显然?限制在V1上仍然是对称变换?V1，根据假设?V1有特征向量?2,?3,...,?n做成V1的标准正交基，从而?1,...,?n使Rn的标准正交基，又是?的n个特征向量.
根据归纳假设定理得证. 例4.1 已知
?011?1???10?11??A??，
1?101?????1110???求正交矩阵T使得T?1AT为对角矩阵.
解：第一步，求矩阵A的特征值. 由
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?1?11?1?1?1 ?E?A???11??11?1?1?0??1??11??2 ?0??10??100??1??1 1?1?1?11?1?? ??(??1)3101
011 ?(??1)3(??3) 由此有1（3重），-3为A的特征值.
第二步，求特征值1对应的特征向量. 将??1带入下式
???x1?x2?x3?x4?0,???x1??x2?x3?x4?0,??x1?x2??x （5） 3?x4?0,??x1?x2?x3??x4?0.得基础解系为
?1?(1,1,0,0)，
?2?(1,0,1,0)，
?3?(?1,0,0,1).
.
将基础解系正交化，得
?1?(1,1,0,0)，
?12?(,?122,1,0)，
?1113?(?3,3,3,1).
.
再将上式单位化，有
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?1?(11,,0,0)， 22?2?(?3?(?112,?,,0)， 6661113,,,). 12121212.
上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.
同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为
?4?(1/2,?1/2,?1/2,1/2).
特征向量?1,?2,?3,?4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵
?,?2?,?3?,?4??， T???1此时
?1????1?T?1AT???. 1????3??? 4.2幂等矩阵
?Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵??O?O??相似. ?O?证明：根据A2?A有，矩阵A的最小多项式mA(?)整除?2??. 因?2???0无重根，由引理5 就有mA(?)无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.
4.3对合矩阵
定理12对合矩阵A可对角化. 证明：A2?E?mA(?)?2?1，易知?2?1=0无重根，根据引理5得mA(?)无重
根，再根据定理8，A能够对角化.
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4.4幂幺矩阵
引理9 ?是矩阵X的任一特征根??是X的最小多项式的根. 证明：用反证法
假设?0是矩阵X的特征根而不是其最小多项式mX(?)的根，则有
(???0,mX(?))?1，
故存在多项式?(?),?(?)，使得
?(?)(???0)??(?)mX(?)?1， 将X带入上式有
?(X)(X??0E)??(X)mX(X)?E， 即有 ?(X)(X??0E)?E.
所以X??0E可逆（即X??0E?0），与?0是矩阵X的特征根矛盾. 故假设不成立，定理得证.
定理13幂幺矩阵A与对角矩阵相似.
证明：因为Am?E，所以矩阵A的最小多项式mA(?)整除?m?1（m为正整数），而?m?1无重根，根据引理9就得mA(?)无重根，再由定理8即得矩阵A与对角矩阵相似.
??1????2??m注意：幂幺矩阵A与对角矩阵?相似，其中??1(i?1,2,...,n). i??????n???4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化
定理14A?Pn?n能够对角化?A?1,A*可对角化. 证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T满足
??1??T?1AT??????2???? ???n?? 由矩阵T可逆就有?i?0(i?1,2,...,n)，从而
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??1?1??T?1A?1T??????1?2????, ???1??n?从而A?1与对角矩阵相似. (II)由A*?AA?1得
?A/?1??T?1A*T?AT?1A?1T????????? ?A/?2??A/?2?从而A*也与对角矩阵相似.
4.6某些正交矩阵的对角化 4.6.1二阶正交矩阵的对角化问题
?b11b12?设A???bb??是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有
?2122?22?b11?b21?1?22 ， ?b12?b22?1?bb?bb?0?11122122从而二阶正交矩阵A有两种形式
?cos?A???sin???cos? 定理15若A???sin???sin????cos???或A??sin?cos????sin???. cos????sin???，则矩阵A与对角矩阵相似. ?cos??证明：A的特征多项式为
cos????sin??? A??E?sin???cos??? ??2?2?cos??1
由A??E?0得矩阵A的特征值为?1?cos??cos2??1,?2?cos??cos2??1.
当cos2??1?0时，容易得到?1??2，故正交矩阵A有两个不同的特征值，容易
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