第六章 量纲分析和相似原理答案
6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q与堰上水头H、重力加速度g、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。
解：f?Q,H,g,?,m0??0 选几何学的量H，运动学的量g作为相互独立的物理量，有3个π项。
ababa?π1?HgQ，p2=Hgq，π3=Hgm0
112233对?1，其量纲公式为
LTM=L1(LT)1LT
L:0??1??1?3，T:0??2?1?1
000a-2b3-1解出?1??π1=52Q，?1??512，则可得
gH0002对π2，其量纲公式为
LTM=L2(LTa-2)b2
L:0??2??2，T:0??2?2
联立解上述方程组，可得?2?0,?2?0,?2?0，则可得
π2=q
对π3，其量纲公式为
LTM=L3(LT)000a-2b3
L:0??3??3，T:0??2?3
联立解上述方程组，可得?3?0,?3?0,?3?0，则可得
π3=m0
F(π1,π2,π3)=0
即
F(Q5,q,m0)=0或
5Q5=F1(q,m0)
gH2gH22Q?F1(?,m0)gH
54
式中，?要视堰口的实际角度而定，量纲一的量m0要由实验来确定。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解Q=4526-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度ρ、动力粘度μ、断面平均流速v，断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗
?糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数??8f(Re,)，可得
d?2?0??v。
8m0tanq52gh2与上式形状相同。
解：τ0=krmvdD-1-2a1a2a3a4a5
-1-1?2将上式写成量纲方程形式后得
dim?0?MLT=(ML)1(MLT)?3?(LT?1?3)(L)?4(L)?5
根据量纲和谐原理可得：
M:1??1??2
L:T:?1??3?1??2??3??4??5 ?2???2??3
选?3、?5为参变量，联立解上述方程组可得：?1??3?1，?2?2??3，?4??2??3??5。
将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：
??12????2??????0?k??vd?
333355 ?????，又因v????0?k???d??5?3?vv22??3,故
?5?v22??3Re?vd???????若令??8f(Re,)，代入上式可得
d?2?0??v
86-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。
????k???d??v22??3?f(Re,?d2)?v
解：f(?0,?,?,v,d,?)?0
选取d、v、ρ为基本物理量，因此有三个π项
???π1?dv??0
111π2?dπ3?d??2?3v?2???
??2v3?3?
?1先求π1，其量纲式为
dimπ1?L1(LT)1(ML)1(MLT??3?-1?2)
L:0??1??1?3?1?1
T:M:0???1?2 0??1?1
55
解上述方程组可得：?1??2,?1??1,?1?0，所以有π1?再求π2，其量纲式为
dimπ2?(L)?2?1?0?v2
(LT)?2(ML)2(MLT)
?3?-1-1L:T:M:0??2??2?3?2?1 0???2?1 0??2?1
解上述方程组可得：?2??1，?2??1，?2??1，所以有 d?v再求π3，其量纲式为
dimπ3?L3(LT?π2????vd??1Re?3
?1)3(ML)3L
?L:T:0??3??3?3?3?1 0???3
M:0??3 ?d解上述方程组可得：?3?0，?3?0，?3??1，所以有
π3?
由此可得量纲一的量所表达的关系式为
?1?F(02,,)?0 ?vRed或
?0?v2?f(Re,?d?d)，或t0=f(Re,Dd)rv
2若令??8f(Re,)，则可得
?0??8?v
26-4文丘里管喉道处的流速v2与文丘里管进口断面管径d1、喉道直径d2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q的表达式。
题6-4图
解：f(v2,d1,d2,?,?,?p)?0 选取d2，v2，ρ三个基本物理量，有三个π项。
56
π1?d?2v?2?1122?1d 12 π2?d?2v?2??? π3?d?2v?2???p
333先求π1：
L:0??1??1?3?1?1
T:M:0???1 0??1 d1d2解上述方程组可得：?1?0，?1?0，?1??1，所以有
?1?
再求π2：
L:T:M:0??2??2?3?2?1 0???2?1 0??2?1
解上述方程组可得：?2??1，?2??1，?2??1，所以有
π2??v2d2???v2d2?1Re
再求π3：
L:T:M:0??3??3?3?3?1 0???3?2 0??3?1
解上述方程组可得：?3??1，?3??2，?3?0，所以有
π3??p?v2,2
由此可得
F(d11d2Rerv22,Dp2)=0
或
?v2?p?f(d2d1,Re)
v2??2?p1?2gd2d12?pf(d2d1,Re)
?g?(d2d1,Re)
=?(,Re)2gH
Q?v2A2??4d2?(2d2d1,Re)2gH 上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的?(57
d2d1,Re)，可由实验及理论分析
进一步确定。
6-5根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有：孔口的作用水头H（由孔口中心到恒定自由液面处的水深）、孔口的直径d、液体的密度ρ、动力粘度μ、重力加速度g及表面张力系数σ。试用π定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。
解：f(v,H,?,d,g,?,?)?0
选取H，v，ρ三个基本物理量，有四个π项。
π11?H?v?1??1d
π22?22?H?v??g
π?33?Hv?3???3 π?44?Hv?4??4?
先求π1：
L:0??1??1?3?1?1
T:0???1 M:0??1
解上述方程组可得：?1??1，?1?0，?1?0
πd1?H
再求π2，
L:0??2??2?3?2?1 T:0???2?2 M:0??2
解上述方程组可得：?2?1,?2??2,?2?0
πgH2?v2
再求π3，
L:0??3??3?3?3?1 T:0???3?1 M:0??3?1
解上述方程组可得：?3??1,?3??1,?3??1
π?3?Hv???Hv
再求π4，
L:0??4??4?3?4 T:0???4?2 M:0??4?1
解上述方程组可得：?4??1,?4??2,?4??1
π4??Hv2?
由此可得
F(dH,gH?v2,Hv,?Hv2?)?0
或
58