第八章 概括平差函数模型
§8.1概述
在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：
?)?0，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=r?n?t （1）、条件平差：F(L??F(X?)，选函数独立未知数u?t，方程数c?r?u?r?t?n （2）、间接平差：L?,X?)?0，选择u?t个函数独立参数，除应列出r（3）、附有参数的条件平差：F(L个条件方程外，还要附加u个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出c?r?u个条件方程。
??F(X?)，?(X?)?0。选择u?t个参数，参数（4）、附有限制条件的间接平差：L??F(X?)（也可视为特殊形式的间存在s?u?t个函数关系。所以除列出n个误差方程L?)?0。方程数条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s个限制条件方程?(Xc=n＋s。 由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差
方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： 0?u?t。也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出u?t个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方程数c等于多余观测数r?n?t，若又选用了u个函数独立参数，则总共应当列出由于u?t，因此一般条件方程的个数总是介于r?c?n范围，c?r?u个一般条件方程。即一般条件方程总数不超过n个。
注意：并非选u＝t或u＞t个参数，u个参数间就一定彼此函数独立，选u﹥t个参数，也不一定包含t个函数独立参数。
对于任意一个平差问题，若选用了u个参数，不论u?t、u?t还是u?t，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=r?u。如
果在u个参数中存在有s个函数不独立的参数，或者说，在这u个参数（包括u?t、u?t以及u?t，但是其中没有t个独立参数的情况）之间存在s个函数关系式，则方程总数c中除r?u?s个一般条件方程外，还包含s个限制条件方程。若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是c?r?u，也就是条件方程数c等于多余观测数r与所选参数u之和。
平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。
§8.2 基础方程和它的解
??F(X?)视为F(L?)?0，L?,X?)?0的特殊形式，则各种平差将平差函数模型：F(L函数模型可统一表示为：
?,X?)?0? F(Lc?1n?1u?1c?1??
??(X)?0 ?s?1u?1s?1?线性化后表示为
c?nn?1AV?B?x?W?0?c?uu?1c?1c?1??(8-2-3)
C?x?Wx?0?s?uu?1s?1s?1?而平差的随机模型是
22?1D??0Q??0P
在这一函数模型中，待求量是n个观测值的改正数v和u个参数，而方程的个数是
c?s?n?u，所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足VTPV?min的
特解。按照求条件极值的方法组成函数，设：
T??VTPV?2KT(AV?B?x?W)?2KS(C?x?WX)
令:
????T?2VTP?2KTA?0 ??2KTB?2KSC?0，转置后得： ?V??xV?QATK，BTK?CTKS?0
于是统一平差模型的基础方程为
(1) AV?B?x?W?0?c?nn?1c?uu?1c?1c?1?(2)C?x?WX?0 ?s?uu?1s?1s?1?? T(3) PV?AK?0?n,nn,1n,cc,1n,1?(4)BTK?CTKs?0?u,cc,1u,ss?1u,1?其中方程数c?s?n?u，未知数是n个V、u个 未知参数、c个对应于一般条件式的联系数K、s个对应于限制条件式的联系数Ks，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。
解基础方程，由（3）得V?QATK带入（1）式得：AQATK?B?x?W?0 则得统一模型的法方程
AQATK?B?x?W?0??BTK?CTKS?0? （8－2－10）
C?x?WX?0??或者
?Naa?c?c?BT?u?c?0?s?cc?uu?us?uB0C??0??K???Wc?s?c?1??c?1T??C??x???0u?s?u?1u?1???0??KS??WXs?s??s?1??s?1???TN?AQA，其中 ?0aa?c?c????1?1T?1?1?1?1T?1由此可以得到：?x??(Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaaW?NbbCNccWX
以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。例如：
（1）、若没有选未知数，即?x=0，则函数模型变为AV＋W=0,基础方程中（2）、（4）
u?1不存在，平差方法为普通条件平差。
（2）、若所选未知数u＝t且函数独立，则条件方程取得特殊形式V?B?x?l，基
n?1c?uu?1c?1础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式BTPV?0，这是间接平差法。
（3）、若选u c?nn?1AV?B?x?W?0。这时基础方程（2）不存在，kS?0，基础方程（4）变为BTK?0c?uu?1c?1c?1u,cc,1u,1这是附有参数的条件平差法。 ?可表示所有?x的函（4）、如果选u?t，且包含t个函数独立的未知参数，则同样L??F(X?)成立，条件方程取得特殊形式V?B?x?l。同时由于u?t，存在u?t?s数，L个多余参数，产生限制条件方程s个，线性形式c?x?Wx?0。基础方程中（1）变为V?B?x?l，（3）不存在，（4）取得特殊形式BTPV?0，这是附有限制条件的间接平差 法。 由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。 §8.3 精度评定 一、单位权方差的估计值公式 VTPVVTPVVTPV?? ???rc?(u?s)c?u?s20其中，c是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。 VTPV?VTPQATK?(AV)TK?(?W?B?x)TK??WTK??xTBTK??WTK??xTCTKST??WTK?WXKS?1?1T?WTNaaW?WTNaaB?x?WXKS?1?1T?WTNaaW?(BTNaaW)T?x?WXKS 二、协因素阵 ?表示为L的线性函数。已知Q?P,应用统一将各基本向量W, ?x,K, KS,V, LLL?1协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。 三、平差值函数的协因素 ?,X?,?,X?)?f?FT?x＋…。则：设有未知数向量函数并且线性化后得：??f(X 12u01?????0?FTQX?X?F，?p?四、概括平差的公式汇编 1 p?函数模型：AV?B?x?W?0 ，W?F(L,X0) c?nn?1c?uu?1c?1c?1s?uu?1C?x?Wx?0，WX??(X0) s?1s?122?1平差的随机模型是：D??0Q??0P ?Naa?c?c法方程：?BT?u?c?0?s?cc?uu?us?uB0C??0??K???Wc?s?c?1??c?1T??C??x???0u?s?u?1u?1????0?KS??WXs?s??s?1??s?1T?1u?u???? ????1Ts?s其中Naa?AQA，Nbb?BNaaB，Ncc?CNbbC c?cTVTPVVTPV??单位权方差：? ?rc?(u?s)20?1?1T?1QVV?QATNaa?NaaBQX?X?BNaaAQ ??QL?L??Q?QVV ?1?1T?1?1QX?X??(Nbb?NbbCNccCNbb) ? 平差值函数的权倒数和中误差：??FTX1?????0?FTQX?X?F，?p?§8.4各种平差方法的共性和特性 迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。 目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。原因是 1 p?