（1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。
（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即N?1?QX?X?，因此评定精度较简单。
条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。
§8.5 平差结果的统计性质
参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性：
?)?? 1、E(??????)?1 2、limP(?????n???)?min 3、D(?本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。
?和X?具有无偏估计 一、估计量L?)?X?E(?x)?~?)?L，E(X 证：E(Lx.
根据概括平差的函数模型：
c?nn?1~~AV?B?x?W?0 ，W?F(L,X0)。对应A??B~x?W?0（8-2-1）a
c?uu?1c?1c?1c?nn?1c?uu?1c?1c?1s?uu?1C?x?WX?0， WX??(X0) 。对应 C~x?Wx?0 (8-2-1）b
s?1s?1s?uu?1s?1s?1x?E(W)，－分别对（8-2-1）a，（8-2-1）b取期望，并顾及E(?)?0，得：?B~?C~x?E(WX)?WX， 其中WX??(X0)，不是随机变量。
?1?1T?1?1?1?1T?1对?x??(Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaaW?NbbCNccWX取期望，顾及到
Nbb?BTNaaB，得到：
?1?1T?1?1?1?1T?1E(?x)?(?Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaaE(W)?NbbCNccE(WX)?1?1T?1?1?1~?1T?1~?(Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaaBx?NbbCNccCx ?I~x?N?1CTN?1C~x?N?1CTN?1C~x?~xbbccbbcc?)?X0?E(?x)?X0?~x得无偏估计值。E(X即?x是~x?X
?1对V?QATNaa(W?B?x)（8-2-19）取期望，得：
?1?1?E(W)?BE(?x)??QATNaaE(V)?QATNaa(?B~x?B~x)?0
~?)?E(L)?E(V)?L，由于L?L??，而E(?)?0，所以E(L?)?L， 故E(L~?是L即证得L的无偏估计值。
~~~?具有最小方差（有效性） 二、估计量X证明一个向量具有最小方差性，即证明该向量的协因数阵迹为最小。参数估计量方差
?QX阵DX ?X?)?tr(QX?X?)?min，由（8-2-18）?X????X?，要证最小方差性即要证明：tr(DX?1?1T?1?1?1?1T?1?x?(?Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaaW?NbbCNccWX知?x是W ，Wx的线性函数，
2即?x是条件方程与限制条件方程中常数项l, Wx的线性函数。
?无偏且方差最小的系数阵，由此产生一个无偏（证明思路：设H1，H2是满足估值x条件，根据最小方差极值问题，又产生两个相关条件。根据三个条件求得H1，H2，回
???x，即由此得证得?x是无偏最小方差估值。??H1W?H2WX，若能得到x代x）
??H1W?H2WX，设有W，现在问题是，其表达式中H1，Wx的另一个参数估值向量x?既无偏又方差最小？。首先令它满足无偏性：H2应等于什么，才能使x?)?H1E(W)?H2E(WX)??(H1B?H2C)~E(xx?~x，则有：H1B?H2C??I题变为求满足条件：
。
tr(QX??X??)?min??的系数阵H1，H2的问题。为此组成函数：
H1B?H2C?I?0?T??H1W?H2WX应用协因数传播律，并顾，对x??tr(QX????)?tr2(H1B?H2C?I)KXT及到WX是非随机量，得到：QX?X??H1QWWH1。
??关于迹对矩阵的导数的补充材料：
已知矩阵A和方阵F，而F是包括A在内的几个矩阵的乘积，则F的迹关于矩阵A的偏导是个矩阵，这个矩阵的各个元素是F的迹关于A的对应元素的偏导。并有：
?tr(ABAT)?A(B?BT) a、F?ABA
?AT?tr(ATBA)?(B?BT)A b、F?ABA
?ATc、F?AB
?tr(AB)?tr(BA)??BT ?A?Ad、tr(A?B)?tr(A)?tr(B) e、tr(kA)?ktr(A)，k是常量。）
?tr(H1QWWH1T)T根据a：?H1(QWW?QWW)?2H1QWW
?H1根据d，e：tr[2(H1B?H2C?I)KT]?2tr(H1BKT)?2tr(H2CKT)?2t(IKT)
?tr(H1BKT)?tr(H2CKT)TTT根据c： ?(BK)?KB，?(CKT)T?KCT
?H1?H2（ 8－5－11）
由表8－1知QWW?Naa，所以由极值条件
???0得： ?H1???1 （8－5－12） ?2H1Naa?2KBT?0?H1??KBTNaa?H1代入无偏条件式：H1B?H2C??I得：
?1?1 (?KBTNaaB?H2C)??I?K?(I?H2C)Nbb根据极值条件
???1T?1T?1?0得；KCT?0?(I?H2C)Nbb C?0?H2??NbbCNcc?H2（8－5－16）
?1回代K?(I?H2C)Nbb得：
?1?1T?1?1?1 （8－5－17） K?(I?H2C)Nbb??NbbCNccCNbb?Nbb此时K表达式中已经没有未知数，将其再代入（8－5－12）式：
?1?1?1T?1?1?1 （8－5－18） H1??KBTNaa?(?Nbb?NbbCNccCNbb)BTNaa?的表达式是 ??H1W?H2WX，得参数估值向量x将（16）（18）两式代入x?1?1T?1?1?1?1T?1??(?Nbbx?NbbCNccCNbb)BTNaaW?NbbCNccWX （8－5－19）
???x。于是知最小二乘估值?x具有无偏和最小方差性， 与（8－2－18）式对比，知x?具有最小方差 三、估计量L??L?V?L?QATN?1(W?B?x)?L?QATN?1[(I?BQ??BTN?1)W?BN?1CTN?1W]LaaaaaabbccXXX?是L,W,W的线性函数。设有另一个参数估值向量L??是L的无偏（8－5－22）。即LX~???L?GW?GW （8－5－23） 和最小方差估计量，令其表达式是：L12XG1，G2是待定系数阵，对其取数学期望得：
~~~~??)?E(L)?GE(W)?GW?LE(L?GBx?GCx?L?(G1B?G2C)~x 12X12??为无偏估计，必有GB?GC?0 （8－5－24） 若L12??的方差阵???L?GW?GW应用协因数传播律，顾及到WX是非随机量，得L对L12X是：
TTTTTQL??L???Q?QLWG1?G1QWL?G1QWWG1?Q?QAG1?G1AQ?GNaaG1，
其中：QLW＝－QA，QWW?Naa
它满足最小方差性，即要求：??tr(QL??L??)?2tr(G1B?G2C)KTT?min。求条件极
值，得：
???1?0??2QAT?2G1Naa?2KBT?0?G1?(QAT?KBT)Naa ?G1???0?2KCT?0 (8-5-28) ?G2?1把最小方差性的第一个条件所得G1表达式G1?(QAT?KBT)Naa代入到无偏性条件
式G1B?G2C?0中得：
?1?1?1 （8－5－29） (QAT?KBT)NaaB?G2C?0?K?(QATNaaB?G2C)Nbb再代入最小方差性的第二个条件2KCT?0，得到：
?1?1T?1?1T?1 (8－5－30) KCT?(QATNaaB?G2C)NbbC?0?G2??QATNaaBNbbCNcc至此，已经求得第一个未知数向量G2。再回代K表达式，就得
?1?1?1?1?1?1T?1?1K?(QATNaaB?G2C)Nbb?QATNaaBNbb?QATNaaBNbbCNccCNbb?QAT?1?1NaaB(Nbb??1TNbbC?1?1NccCNbb)?QAT?1NaaBQX?X? （8－5－31）
再代入28式得：
?1?1?1T?1T?1T?1G1?(QAT?KBT)Naa?QATNaa?QATNaaBQX?X?BNaa?QANaa(I?BQX?X?BNaa)
???L?GW?GW 这就又求得了第二个未知数向量G1，将G1，G2表达式代入L12X就得到：
???L?GW?GW?L?QATN?1(I?BQ??BTN?1)W?QATN?1BN?1CTN?1W L12XaaaaaabbccXXX??满足无偏和最小方差特性，由此（8－5－33），对比（8－5－22）两式完全相同，由于L?是最优估值。 证得L22?0四、单位权方差估值?是?0的无偏估计量
? 单位权方差估计公式?20＝
VTPV22?0，现要证明E(? )??0r