相 似 形
中考要求
1、理解相似图形的性质.
2、掌握相似三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题. 3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小. 知识概要 一 相关概念
1、成比例线段 如果四条线段a、b、c、d满足
ac?（即ad?bc），那么这四条线段是成比例线段，bd简称比例线段. 2、相似比
相似多边形对应边的比叫相似比.相似比为1的两个图形全等. 3、位似图形
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 二 相似三角形的判定
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2、如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相
似. 4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对
应比相等，那么这两个直角三角形相似. 三 相似三角形的性质
1、相似三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等.
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形（多边形）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 四 位似变换的坐标规律
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.. 范例解析
例1 （2009深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 _．
分析 要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得
0
AE=EF=4，GF=2，而∠AEF=∠EFG=90，不难发现△ABE≌△ECF∽△FDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.
00
解 ∵∠GFD+∠EFC=90 ∠EFC+∠FEC=90
1
∴∠GFD=∠FEC
0
又∵∠D=∠C=90 ∴△ECF∽△FDG ∴
ECEF4???2 DFGF2∵AE=EF=4 ∠BAE=∠FEC ∠B=∠C ∴△ABE≌△ECF ∴AB=EC BE=CF ∵AB=CD EC=2DF ∴AB=2DF=2CF=2BE 设BE=x 则AB=2x 222∵x+(2x)=4
?854585?4?=85 5 ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BE+EC)=2???∴x=
?555??5?点评 本题综合运用了全等与相似三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关
键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性.
例2 （2009衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′ 的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
1A．?a
2
1B．?(a?1)
21C．?(a?1)
2
1D．?(a?3)
2分析 本题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论，为此可将图形向右平移，使位似中心C与原点重合，求出平移后B点坐标，再将图形向左平移到原先的位置，问题便迎刃而解.
解 将△ABC与△A'B'C向右平移一个单位，则B'的横坐标变为a?1， ∵点C的坐标是(-1，0) ∴平移后C点位于原点O
∵△ABC与△A'B'C的相似比为1：2，点B与点B'在原点异侧
1?a?1? 211∴平移前B点的横坐标为??a?1??1，即??a?3?
22∴B点平移后的横坐标为?故选D
点评 课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，本题通过平移，使这一条件得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意仔细体会.当然本题还可分别过B、B'点作x轴的垂线，利用相似三角形列比例式，也可求出B点坐标.
例3 （2009黄冈）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD
2
交于点G．求证：BC?BG?BF
2
分析 将等积式BC?BG?BF化成比例式
2BCBF?，发现只要证明△BCG∽△BFC即可. BGBC证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB于D， ∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F， ∴∠F=∠BCD=∠BCG，
??BCG??F??GBC??CBF BCBG?∴△BCG∽△BFC ∴ BFBC在△BCG和△BFC中，?即BC?BG?BF
点评 在圆中找角相等比较方便，圆中的相似三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相似”这一判定来证.
例4 （2009奉化）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E
位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M， EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论．
FDDAMBE图12MANNCBE图20
FC
0
分析 （1）对于△BEM与△CNE，有∠B=∠C=45，又∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME=135，从而∠BME=∠CEN，△BEM∽△CNE.（2）图2在（1）的基础上多出了两个三角形（可用字母表示），
3
即△EMN与Rt△AMN，Rt△AMN不与原两个等腰直角三角形相似，可考虑△EMN与△BME和△CEN是否相似.
证：（1）??ABC是等腰直角三角形，
∴?B?45，∴?BME??MEB?135 又??DEF是等腰直角三角形，∴?DEF?45 ∴?NEC??MEB?135
0∴?BME??NEC，而?B??C?45，
0000∴?BEM∽?CNE
（2）与（1）同理?BEM∽?CNE，∴ 又?BE?EC ?BEEM? CNNEECEM?， CNNEECME0?则?ECN与?MEN中有，又?ECN??MEN?45， CNEN∴?ECN∽?MEN
点评 在△DEF绕点E旋转过程中，图1、图2中始终有∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME，从而得到∠BME=∠CEN，在解题中善于抓住图形变化过程中的不变量，至关重要.另外（2）问有一定的开放性，哪些三角形可能相似要能快速判断出，而在证明时要用到（1）的结论，得到比例式，再进行等线段替换，作为判定三角形相似的一个条件，这些是证明相似三角形时常用到的方法，有一定的难度.
例5(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；
ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，B
D F A
O 图1
E C A
O 图2
B F D E C
分析 在(1)中通过找两三角形角之间的关系，易证这两个三角形相似.而（2）在原题条件下又加了两个条件，结合（1）的结论，不难得到OE=BF，将求
OFOF转化为求，再通过作OEBF4
辅助线，使OF与BF所在的三角形相似，从而将
OF进一步转化，直到转化为可求出比的BF两线段之比.（3）问是更一般的情形，沿用（2）的思路不难写出结果. 解（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°． ??BAC?90°，??BAF??C． ?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，
??BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE； （2） B D F G A O E
C
如图，作OG⊥AD（或OG∥BC），垂足为G ∵OA=OC
AC?2 AB∴AB=OA=OC
由（1）知△ABF∽COE ∴
BFAB??1 ∴BF=OE OEOCOFOG? BFBDOGAD? BDBD∵AD⊥BC OG⊥AD ∴OG∥BC ∴△OGF∽△BDF
∵AB=OA ∠ADB=∠OGA ∠ABD =∠OAG ∴△ADB≌△OGA ∴OG=AD ∵△ADB∽CAB
OFADAC?2 ??2 ∴OEBDABOF?n． （3）OE∴
点评 将要求的比转化，常用的方法有等线段替换和等比替换，本题这两种替换都用到了.另外，构造相似三角形时，通常是作平行线，构造“A字型”或“X字型”等基本相似图形，从而得到需要的比例式. 巩固训练 一、选择题 1．（2009天津）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果
△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
A 2．（2009烟台）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点， 且BP?1，D为AC上一点，若?APD?60°，则 CD的长为（ ）
D 60° C B
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