2016 年竞赛与自主招生专题第八讲 数列的通项与递推数列
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。
一、知识精讲 一．等差数列：
1.通项公式：an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)； 2.前n项和公式：sn?二．等比数列：
1.通项公式：an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； qn(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1?? 2.前n项和公式：Sn??1?q或sn??1?q .
?na,q?1?na,q?1?1?1n?1?S,三．数列的通项公式与前n项的和的关系：an??1(Sn为数列{an}的
?Sn?sn?1,n?2前n项的和为).
四．常见数列的前n项和公式：
1?2?3??n?n(n?1) 21?3?5?72?4?6?812?22?32?13?23?33??(2n?1)?n2
?2n?n(n?1) n(n?1)(2n?1)
6n(n?1)2?n3?[]
2?n2?【知识拓展】
一．对于数列{an}，若存在正整数k及一个将an?k与前面k项an?k?1,an?k?2,系起来的方程
an联
f(an?k,an?k?1,方程。
an)?0,n?1,2,，则称数列{an}是k阶递推数列，此方程为递推
由（*）得出an?k?g(an?k?1,an?k?2,an)，称为数列{an}的递推关系。
ak。
一般说来，确定一个k阶递推数列需要知道k阶初始值：a1,a2
二．求通项问题的主要类型：
1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。 2.累加法：an?1?an?f(n) ?
方
法
：
利
用
叠
n?1加法，
a2?a1?f(1),a3?a2?f(2),an?an?1?f(n?1),an?a1??f(k)。
k?13.累积法：an?1?anf(n)
?方法：利用迭代法，a2?a1f(1),a3?a2f(2),an?an?1f(n?1),an?a1?f(k)。
k?1n?14.待定系数法：an?1?pan?q（p,q为常数且p?0,1，q?0）
?方法：用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an?1???p(an??)，
??q，从而 p?1?q?a??n?是一个公比为p的等比数列。
p?1??5.an?1?pan?f(n)（p为非零常数且p?1） 方法：上式两边同时除以pn?1，anan?1anf(n)f(n)?b??b?b?，令，有，nn?1nnn?1nnn?1ppppp
转化为第一种类型，用叠加法解决。
6.特征根法：an?1?pan?qan?1（n?2）（p,q为常数）
?方法：可用下面的定理求解。令?,?为相应的二次方程x2?px?q?0的两根（此方程又称为特征方程）；
（1）当???时，其通项公式为：an?A?n?B?n； （2）???时，其通项公式为：an?(A?Bn)?n?1，
?A??B??a1,?A?B?a1,其中A,B分别由初始条件a1,a2所得的方程组?2和?2A??B??a?(A?2B)??a2?2唯一确定。
更一般地，对于常系数线性递推数列an?k?c1an?k?1?c2an?k?2?征方程
?ckan，其特
xk?c1xk?1?c2xk?2?s?ck?1x?ck的根（互不相同）有s个，分别为x1,x2,sxs，且
xi是ti重根，?ti?k，则an??fi(n)xin，其中fi(n)是关于n的ti?1次多项式，
i?1i?1其系数由初始值决定。
2a?an?baa?nb?7.不动点法：形如an?1?（c?0，ad?bc?0且a1?a2），an?1?c?an?d2aa?nc?的递推数列的通项问题常用不动点法解决. 类型I：an?1?ax?ba?an?b（c?0，ad?bc?0且a1?a2），令f(x)?.
cx?dc?an?d（1）若f(x)?x有两个不相等的实数根x1、x2，则
an?1?x1a?x1?An（其中
an?1?x2an?x2A??a?x?a?cx1），即数列?n1?成等比数列，公比为A，则可求an. a?cx2?an?x2?11??A（其中
an?1?x0an?x0（2）若f(x)?x有两个相等的实数根x0，则
A??1?2c），即数列??成等差数列，公差为A，则可求an. a?da?x?n0?2a?an?bax2?b（拓展）类型II：an?1?，令f(x)?.
2ax?c2a?an?c
2ax12?bax2?b（1）若f(x)?x有两个不相等的实数根x1、x2，即x1?、x2?，
2ax1?c2ax2?c从而有
ax12?cx1?b?0、
2ax2?cx2?b?0，所以
ax12?b?2ax1an?x1cax12?b an?1?x1??x1?2ax1?c2a?an?c2a(an?x2)2a?an?2ax1an?ax12a(an?x1)2. 同理可得an?1?x2?. ??2a?an?c2a?an?c2a?an?c所以，两式相除，得
an?1?x1a?xa?x2?(n1)2，令bn?n1，则bn?1?bn，两边取对
an?1?x2an?x2an?x2数，不难得到bn的通项公式，从而可得an.
（2）若f(x)?x有两个相等的实数根x0，则可得x0??c，c2?4ab?0. 2a2ca?an?bc由an?1?，令bn?an?，化简可得2bn?1?bn，因此?bn?是等比数?2a2a2a?an?c列.
三．周期数列：
对于数列{an}，如果存在一个常数T（T?N*），使得对任意的正整数n?n0，恒有an?T?an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列。若
n0?1，则称数列{an}为纯周期数列，若n0?2，则称数列{an}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
③如果T是数列{an}的周期，则对于任意的k?N*，kT也是数列{an}的周期； ④如果T是数列{an}的最小正周期，M是数列{an}的任一周期，则必有T|M，即M?kT，k?N*；
⑤已知数列{an}满足an?t?an（n,t?N*，t为常数），Sn,Tn分别为{an}的前n项的和与积，若n?qt?r，0?r?t，q,r?N*，则Sn?qSt?Sr，Tn?(Tt)qTr；
⑥设数列{an}是整数数列，m是某个取定大于1的自然数，若bn是an除以m后的余数，即bn?an(modm)，且bn?{0,1,2,则称数列{bn}是{an}关于m的1}m?，
模数列，记作{an(modm)}。若模数列{an(modm)}是周期的，则称{an}是关于模m的周期数列。
⑦任意k阶齐次线性递归数列都是模m的周期数列。 四．阶差数列：
对于一个给定的数列{an}，把它的连续两项an?1与an的差an?1?an记为bn，得到一个新数列{bn}，把数列{bn}称为原数列{an}的一阶差数列；如果
{cn}是{an}的二阶差数列；则称数列{cn}是数列{bn}的一阶差数列，cn?bn?1?bn，
依此类推，可以得到数列{an}的p阶差数列，其中p?N*。
如果某一数列的p阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：
①如果数列{an}是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p?1阶等差数列； ②数列{an}是p阶等差数列的充要条件是：数列{an}的通项是关于n的p次多项式；
③如果数列{an}是p阶等差数列，则其前n项之和Sn是关于n的p?1次多项式。
三、典例精讲 四、
例1．（2011复旦）设x1?0，xn?1?3(1?xn)，n?1,2,3,3?xn，那么（ ）
（A）数列{xn}是单调增的 （B）数列{xn}是单调减的 （C）数列{xn}或是单调增的，或是单调减的 （D）数列{xn}既非单调增的，