也非单调减的。 ?答案：D
?分析与解答：
3(1?xn)3?xn2。显然xn?0，若x1?3，则{xn}单调递增；若xn?1?xn??xn?3?xn3?xnx1?3，则xn?3，{xn}为常数列；若x1?3，则{xn}单调递减。
例2．（2010复旦）设x0?0,x1?1，xn?1?（A）
xn?xn?1，则数列{xn}的极限为（ ） 22211 （B） （C） （D）
2332?分析与解答：
1 递推数列对应的特征方程为2t2?t?1，(2t?1)(t?1)?0，t1??,t2?1，故
22?U???U?V?0????1?3，解得?所以，xn?U?????V。再由x0?0,x1?1，有?12?U?V?12???V???2?3?n2?1?2xn??????
3?2?3从而{xn}的极限为
n2。故选A。 3例3．（2008武大）在数列{an}中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N*。 （1）求证：数列{an?n}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn。 ?分析与解答：
（1）由an?1?4an?3n?1?an?1?(n?1)?4(an?n)，这说明数列{an?n}是一个公比为4的等比数列。
（2）由（1）知an?n?4n?1(a1?1)?4n?1,an?4n?1?n 故Sn?(1?4??4)?(1?2?n?14n?11?n?n)??n
32注：这是一道循序渐进的问题，第一问为第二问铺垫。本题也可采用如下方法：对式子an?1?4an?3n?1两边同时除以4n?1，也可以解答。
例4．已知数列?an?满足a1?a,a2?b,3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，求数列?an?的通项公式。 ?分析与解答：
解法一（待定系数——迭加法）
由3an?2?5an?1?2an?0，得
an?2?an?1?2(an?1?an)， 3[来源:Zxxk.Com]
且a2?a1?b?a。
则数列?an?1?an?是以b?a为首项，
2为公比的等比数列，于是 32an?1?an?(b?a)()n?1。把n?1,2,3,???,n代入，得
3a2?a1?b?a，
2a3?a2?(b?a)?()，
32a4?a3?(b?a)?()2，
3???
2an?an?1?(b?a)()n?2。
3把以上各式相加，得
21?()n?12223an?a1?(b?a)[1??()?????()n?2]?(b?a)。
23331?322?an?[3?3()n?1](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a。
33解法二（特征根法）：数列?an?： a1?a,a2?b 3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，
的特征方程是：3x2?5x?2?0。
?x1?1,x2?2, 32n?1?A?B?()n?1。 ?an?Ax1n?1?Bx23又由a1?a,a2?b，于是
?a?A?B?A?3b?2a? ?2??b?A?B?B?3(a?b)?3?2故an?3b?2a?3(a?b)()n?1
3
例5．（2003上海交大）数列{an}满足：求an和liman。 a1?1,a2?3,3an?2?2an?1?an，
n???分析与解答：
由3an?2?2an?1?an，知an?2?21an?1?an。 332?2?1?2??2?令an?2??an?1?????(an?1??an)?an?2?an?1??????an，故??????，
33333??????1或?1。 311 ??时，数列an?2?an?1是一个常数列，
3311110 an?2?an?1?a2?a1?3??。
33331 ???1时，数列{an?2?an?1}是一个公比为?的等比数列。
3?2????0,??2313①
?1??1??1? an?2?an?1????(a2?a1)????(3?1)?2????
?3??3??3?nnnnn②
41053?1??1?由①、②可得 an?1??2?????an?1?????，从而
3322?3??3?9?an???2?1?5，故 ??3?2nlim?n??5。 2注：对形如an?1?pan?qan?1(p,q为常数，p,q?0）的数列求通项问题，可采用如下方法：引入参数?，an?1??an?(p??)(an??an?1)，(p??)??q，得到一个关于?的方程?2?p??q?0。设两根为?1,?2。若?1??2，可得到两个等比数列，联立消去an?1或an即可；若?1??2，仍可得到形如an?1??1,2an?f(n)（关于n的一个函数），它就是知识拓展中提到的类型4。这种方法本质上是特征根法。
例6．已知数列{an}满足性质：对于n?N,an?1?公式.
?分析与解答： 依定理作特征方程x?an?4,且a1?3,求{an}的通项
2an?3x?4,变形得2x2?2x?4?0,其根为?1?1,?2??2.故特2x?3征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
cn?a1??1p??1rn?13?11?1?2n?1?()??(),n?N.
a1??2p??2r3?21?2?221n?1(?),n?N. 5521?2?(?)n?1?1?c??155∴an?2n?,n?N.
21cn?1(?)n?1?155∴cn?(?5)n?4即an?,n?N.
2?(?5)n练习1：已知数列{an}满足：对于n?N,都有an?1?（1）若a1?5,求an; （2）若a1?3,求an; （3）若a1?6,求an;
（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ ?分析与解答：
13x?25.变形得x2?10x?25?0, 作特征方程x?x?3特征方程有两个相同的特征根??5.依定理2的第（1）部分解答. (1)∵a1?5,?a1??.?对于n?N,都有an???5; (2)∵a1?3,?a1??. ∴bn?1r?(n?1) a1??p?r?13an?25.
an?3
11?(n?1)? 3?513?1?51n?1, ???28 ?令bn?0，得n?5.故数列{an}从第5项开始都不存在， 当n≤4，n?N时，an?15n?17. ???bnn?5(3)∵a1?6,??5,∴a1??. ∴bn?1rn?1?(n?1)?1?,n?N. a1??p??r8令bn?0,则n??7?n.∴对于n?N,bn?0. ∴an?1???bn15n?43?5?,n?N. n?1n?71?8(4)、显然当a1??3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，a1?5时，数列{an}是存在的，当a1???5时，则有
bn?5n?131r1n?1,n?N?(n?1)??,n?N.令bn?0,则得a1?n?1a1??p??ra1?58且n≥2. ∴当a1?5n?13（其中n?N且N≥2）时，数列{an}从第n项开始便不存在. n?15n?13:n?N,且n≥2}上取值时，无穷数列{an}于是知：当a1在集合{?3或
n?1都不存在.
例7．（2011“卓越联盟”）设数列{an}满足a1?a,a2?b,2an?2?an?1?an。 （1）设bn?an?1?an，证明：若a?b，则{bn}是等比数列； （2）若lim(a1?a2?n???an)?4，求a,b的值。
?分析与解答：
（1）由2an?2?an?1?an得2(an?2?an?1)??(an?1?an)。令bn?an?1?an，则
1bn?1??bn。
21所以{bn}是公比为?的等比数列，首项为b?a。
2（2）若a?b，则{an}是常数列，a1?a2?时，由（1）知，
an?na，显然不适合题意；当a?b?1?bn?????2?n?1?1??b1，即an?1?an?????2?1?1n?1(b?a)。
2?1[来源:学科网]
?1??1?所以a2?a1????(b?a),a3?a2?????2??2?以上各式相加：
?(b?a),an?1?an????1??2?n?1b(?a)。
?1?1????2?an?1?a1?(b?a)???1?1?????2?n，
??1?n?2an?1?a?(b?a)?1?????3???2???，即
??1?n?1?2an?a?(b?a)?1?????，
3???2???所以
n??1??n?1?????224412?????na?(b?a)n?(b?a)?(b?a)?an?na?(b?a)?n?????33992??1???1???????2???a1?a2?。由于lim(a1?n??[来源:Zxxk.Com]
24?an)?4，a?6,b??3。所以a?(b?a)?0,?(b?a)?4，解得：
39
例8．（2010五校联考）设函数f(x)?1（t?,a?0），满足
2x?m，且存在函数s??(t)?at?bx?1?2t?1?2s?1f?。 ??ts???2s?1?2t?1（1）证明：存在函数t??(s)?cs?d(s?0)，满足f?； ??st??（2）设x1?3,xn?1?f(xn),n?1,2证明：|xn?2|?1。 n?13