测量误差、不确定度和数据的处理
一、重点与难点
（一） 重点
1. 直接测量值的标准偏差的计算：直接测量值的A类、B类不确定度的计算。 2. 间接测量值的不确定度的计算。 3. 测量结果的完整表达。
4. 逐差法、最小二乘法的计算方法（在相应的实验中讲授）。 （二）难点
1. 标准偏差及不确定度概念的理解。
2. 不确定度的计算及测量结果的正确表述。 二、计算题 例题一：
用螺旋测微仪测量一钢珠直径6次，测量数据如下表，已知仪器误差△仪=0.004mm，求钢珠直径的测量结果，要求表示成不确定度的完整表达式（置信率取95%）。 测量次数 d (mm) 1 3.302 2 3.304 3 3.301 4 3.302 5 3.301 6 3.300 解：
（1） 钢珠直径的算术平均值
d??dii?166?3.302?3.304?3.301?3.302?3.301?3.300?3.302(mm)
6（2） 钢珠直径的A类不确定度：根据P=95%及测量次数查出，tp=2.57
?A?tp?d?tp?(d?d)ii?1n2n(n?1)?2.57?(3.302?3.302)2?(3.304?3.302)2?(3.301?3.302)2?(3.302?3.302)2?(3.301?3.302)2?(3.300?3.302)26?5 = 0.0015(mm)
（3） 钢珠直径的B类不确定度：
2?B??20.0042?0.0012?0.0042(mm)yi??gu?
（4）钢珠直径的总不确定度
222ud??2???0.0015?0.0042?0.005(mm)(p?95%) AB
例题2
?0测出一个铅圆柱体的直径d?(2.04?0.01)cm,高度h?(14.20.c0m1)，质量
m?(519.1?8解：
，各值的置信率皆为95%，求铅柱密度?的测量结果。 0.?05?3)kg10（一）铅柱密度算术平均值
??4m4?519.183??11.2(g/cm) 22?dh??2.04?14.2（二） 密度的不确定度 Ep?(?ln??ln??ln?um)2?(ud)2?(uh)2 ?m?d?h=(121um)2?(ud)2?(uh)2 mdh0.00522?0.0120.012)?()?()?0.0098(p?95%)
519.182.0414.20
=(u??E????0.0098?11.2?0.2(g/cm3)（三） 密度的完整表达式：
????u??(11.2?0.2)(g/cm2)?(11.2?0.02)?104(kg/m3)
例题3
一圆柱体，用50分度游标卡尺分别测量其直径和高度各5次，数据如下表，求其侧面积的测量结果。（窒息率95%） 测量次数 d(mm) h(mm) 1 20.42 41.20 2 20.34 41.22 3 20.40 41.32 4 20.46 41.28 5 20.44 41.12 (1) 计算直径的算术平均值
d??di?15i5?20.42?20.34?20.40?20.46?20.44?20.41(mm)
5（2）直径的A类不确定度：根据p=95%及测量次数查出tp?2.78
2(d?d)?ii?1n?A?tp?d?tp=
n(n?1) (20.42?20.41)2?(20.34?20.41)2?(20.40?20.41)2?(20.46?20.41)2?(20.44?20.41)2?0.058(mm)
5?4（3） 直径的B 类不确定度?B?（4） 直径的总不确定度
2?20.022?0.022?0.29(mm) yi??gu?2ud??20.0582?0.0292?0.065?0.07(mm) A??B?（5） 直径的测量结果d?d?ud?(20.41?0.07)mm(P?95%) （6） 计算高度的算术平均值
h?
?hi?15i5?41.20?41.22?41.32?41.28?41.12?41.23(mm)
5（7） 高度的A类不确定度：?A?tp?h?tp?(h?h)ii?1n2n(n?1)?2.78?
(41.20?41.23)2?(41.22?41.23)2?(41.32?41.23)2?(41.28?41.23)2?(41.12?41.23)2?0.096(mm)5?4（8）高度的B类不确定度：?B?（9）高度的总不确定度：uh?222?2???0.02?0.02?0.028(mm) yigu2?20.0962?0.0282?0.10(mm) A??B?（10）高度的测量结果h?h?uh?(41.23?0.05)mm(P?95%) （11）计算求侧面积达的算术平均值
s??dh?3.1415926?20.41?41.23?2643.67(mm2)
（12）计算侧面积的不确定度 Es?(?lns2?lns21111ud)?(uh)?(ud)2?(uh)2?(?0.04)2?(?0.05)2?0.0023?d?hdh20.41?41.23us?Es?s?2643.67?0.0023?6.1(mm2)
（13）侧面积的完整表达式
s?s?us?(2643.7?6.1)(mm2)( P=95%)
?(2.6437?0.0061)?10(mm)
或?(2.644?0.0061)?10(mm)
三、填空题
1．测量就是将（ ）物理量和（ ）物理量进行比较的过程。
2. 能直接从仪器上读出测量值的测量称为（ ）测量。 由直接测量值通过函数关系计算得出待测量称为（ ）测量。
3. 任何物理量所具有的客观真实数值称为该物理量的（ ）。 4. 任何测量的目的都是要测得该物理量的（ ）。 5. 误差是测量值与真值之间存在的（ ）。
336. 误差存在于一切（ ） 中，而且贯穿（ ）过程的始终。
7. 根据误差的（ ）和（ ）可以将误差分为（ ）误差和（ ）误差。
8. 等精度测量是指（ ）测量、（ ）测量、（ ）测量、（ ）测量均不发生改变的测量。
9. 同样条件下多次测量同一物理量时，（ ）和（ ）保持不变，或者按（ ）变化的误差称为系统误差。 10. 系统误差主要来自（ ）、（ ）、（ ）、（ ）四个方面的误差。 11. 发现系统误差的主要方法有：（ ）、（ ）、（ ）三种方法。 12. 同样条件下多次测量同一物理量时，（ ）和（ ）不能确定的误差，称为随机误差。
13. 在等精度多次测量中，随即误差课通过（ ）而减小。 14. 随机误差的分布特点是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
15. 表示测量数据相互接近的概念是（ ）度，它是定性评价（ ）误差大小的。 16. 测量数据的3?判据中，?被称为（ ）的标准偏差，其统计意义是落在区间【-3?，+3?】内的概率是（ ）。
17. 精确确度描述了测量数据间的（ ）程度，又表示了测量值与（ ）的接近程度。
18. 准确度描述了测量值与真值间的（ ）程度，反应了测量中（ ）的大小。 19. 测量结果完整表达式包括（ ）、（ ）、（ ）、( ).
20．不确定度可以保留（ ）位，其尾数结尾时采用（ ）的原则，平均值的最末位数应与不确定度（ ）对齐，其尾数取舍时按（ ）规则进行。 21. 测量值有效数字位数不能任意（ ），位数的多少又被测量的（ ）和测量仪器的（ ）共同决定。
22. 仪器误差主要是指仪器的（ ）与被测量值之间的（ ）的绝绝对值。 23. 由仪器的精度级别计算仪器误差的计算公式是（ ）。
24. 一级精度，量程0-125m.m，50分度的游标卡尺其仪器误差为（ ）。 25. 有限次测量的随机误差的t分布中的tp因子与（ ）和（ ）有关。 26. 估计读书的最小读数单位被称为（ ）误差。
27. 不确定度表示了被测物理量（ ）的区间和其在此区间的（ ）。 28. 不确定度的计算分为两类，及（ ）和（ ）。
29. A类不确定度的分量是指可以用（ ）计算的不确定度的分量。
30. 不确定度的均分原理就是将间接量的（ ）均匀分配到（ ）的不确定度中去。
31. 天平砝码不准确产生的误差为（ ）误差，可以用（ ）不确定度来评定。 32. 使用逐差法的条件是：自变量是严格（ ）变化的，因变量与自变量必须是（ ）的关系。
33. 最小二乘法处理数据可以得到物理量间的（ ），其原理是：拟合曲线与各测量值之（ ），在所有拟合曲线中应（ ）。 四、选择题
1 指出下列情况属于随机误差的是
A 读书时视角误差 B 千分尺零位对不齐 C 天平杠杆受气流影响的起伏 D 电表的指针未归零
E 电压波动引起的测量值变化 F 空气浮力对测量物体质量的影响 2 假设多次测量的随机误差服从高斯分布，真值处于x??x区间内的概率为
A 57.5% B 68.3% C 99.7% D 100%
3 用量程为15mA，准确度等级为0.5等级的电流表测量某电流的指示值为10.00mA,其测量结果的最大误差为：
A 0.75 mm B 0.08mA C 0.05mA D 0.008mA 4 下列测量结果正确的表达结果是
A L=(23.68?0.03)m(P?0.95) B I?4.091?0.100mA(P?95%) C T?12.563?0.01s(P?0.95) D Y?(1.67?0.15)?1011Pa(P?0.95) 5 测量一约为1.5伏的电压时要求其结果的误差不超过1.5%，则应选择下列那种规格的电压表最为合适
A 0.5级、量程为5伏特 B 1.0级、量程为2伏特 C 2.5级、量程为1.5伏特 D 0.5级、量程为3伏特 6 用50分度的游标卡尺测量物体的长度，符合有效数据是
A 40mm B 40.0mm C 40.00mm D 40.000mm
7 在计算数据时，当有效数字位数确定以后，应将多余的数字舍去。设计算结果的有效数字为4位，则下列不正确的取舍是
A 4.32749?4.328 B 4.32750?4.328 C 4.32751?4.328 D 4.32850?4.328 8 下面说法正确的是
A 有效数字的位数是由计算器显示的位数决定的 B 有效数字位数的多少由测量仪器的精度决定 C 有效数字的位数多少由其不确定度决定
D 有效数字的多少是由所用单位的大小决定的 9 下面说法正确的是
A 系统误差可以通过多次测量消除 B 偶然误差一定能完全消除 C 记错数是系统误差
D 系统误差是可以减少甚至消除的 10 请选出下列说法正确的是
A 一般来说，测量结果有效数字的多少与测量结果的准确度无关。
B 未知仪器误差时，可用仪器的最小分度值或最小分度值的一半近似作为该仪器的单次测量误差
C 直接测量一个直径约10mm的钢球，要求相对测量误差不超过5%，应该选用最小分度为1mm的米尺来测量
D 实验结果应尽可能保留多的运算位数，以表示测量结果 参考答案： 填空题：
1 待测，标准； 2 直接，间接； 3 真值 ；4 真值； 5差值；6 测量，测量；7 性质，来源，系统，随机；8 仪器，方法，人员，条件；9 绝对值，正负号，一定定律；10 理论或方法，仪器，环境，个人；11 对比，理论分析，数据分析；12 绝对值，正负号；13 多