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运筹学2005—2011参考答案
中国科学技术大学——管理科学与工程专业 以下试题全部标明了考试的年份，方便考生查阅
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一、线性规划建模
1、(（1998年，2009年考了)某公司现有大米、玉米、面粉1820吨，1760吨和1700吨，拟调入对上述粮食物资有需求的甲，乙，丙，丁四个地区。已知：甲，乙，丙，丁四个地区对上述物资的总需求为1300吨，1280吨，1290吨和1350吨，各种物资调往各地区可以获得的利润如表1所示。问该公司应如何安排调运计划，才能使得公司获得的利润最大？ （运输问题） 甲 乙 丙 丁
解：参考课本p90 产1820+1760+1700=5280 销1300+1280+1290+1350=5220 大米 250 240 280 220 表1 玉米 300 280 340 260 面粉 320 290 310 275 max 250x11?300x12?320x13?240x21?...?275x43333?3??x1j?1300,?x2j?1280,?x3j?1290,?x4j?1350j?1j?1j?1?j?144?4 s.. t??xi1?1820,?xi2?1760,?xi3?1700i?1i?1?i?1?xij?0??
2、某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需要的司乘人员如表2： 班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00-10：00 10：00-14：00 14：00-18：00 18：00-22：00 22：00-2：00 2：00-6：00 所需人数 70 80 70 60 20 30 表2
设司乘人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少应配置多少司乘人员才能满足上述要求，建立这个问题的线性规划模型。（1999，2007）p46 解：设xi为第i阶段开始工作的人。
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min z?x1+x2+x3+x4+x5+x6?x1?x6?70??x1+x2?80?x2+x3?70 ?s.t. ?x3+x4?60?x+x?20?45?x5+x6?30??x1,x2,x3,x4,x5,x6?0
3、清华大学修订版P42，例13。（2006年）
4、某公司拟在下一个年度的1-4的4个月内需租用仓库堆放物资，每个月份所需仓库的面积于表3.仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字参见表4.租借仓库的合同每月初都可办理。每份合同具体租用面积数和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同，每次办理时可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。（2005） 月份 所需仓库面积（100m2） 合同租借期限（个月） 合同租借期内费用（元/100 m2） 1 27 表3 1 4000 2 5700 3 7200 4 8500 2 22 3 32 4 24 表4 解：设xij为第i个月开始的期限为j个月的租借合同所租借的面积（100m2）。 min z?4000(x11?x21?x31?x41)?5700(x12?x22?x32)?7200(x13?x23)?8500x14?x11?x12?x13?x14?27??x12?x13?x14?x21?x22?x23?22?s.. t?x13?x14?x22?x23?x31?x32?32?x?x?x?x?24?14233241??xij?0
5某厂在计划期内生产甲、乙、丙三种产品，产品甲一次经A、B设备加工，产品乙经A、C设备加工，产品丙经C、B设备加工，已知有关数据如下表所示，请为该厂制定一个最优的生产计划。（建模并求解，2004） 机器 产品 甲 乙 丙 机器成本（元/小时） 每周可用小时数
机器生产率（件/小时） 原料成本（元） 产品价格（元） A 10 20 200 50 B 20 10 100 40 C 5 20 200 60 15 25 10 50 100 45 3
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解：设生产甲产品x1件，乙产品x2件，丙产品x3件，则该线性问题可以表示为
xxxxxxMaxZ?35x1?75x2?35x3?（1+2）*200?(1?3)*100?(2?3)*200 10202010520?x1x2?10?20?50? ?x1?x3?40?s..t?2010?x2x3?60??520???x1,x2,x3?0
6、三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用以及每年可用的金额（万元），如下表所示，假定每一项已选定的工程要在整个三年内完成，试选出使得总收入为最大的那些工程（建模并求解）（2002） 工程 一 二 三 四 五 每年可用金额 解：设xi??费用 第一年 第二年 第三年 5 4 3 7 8 25 1 7 9 4 6 25 8 10 2 1 10 25 收入 20 40 20 15 30 ?0 第i个工程未被选中?1 第i个工程被选中，模型为 MaxZ?20x1?40x2?20x3?15x4?30x5?5x1?4x2?3x3?7x4?8x5?25?x?7x?9x?4x?6x?25?12345s..t??8x1?10x2?2x3?x4?10x5?25??xi为0或1 7、某化工厂用原料ABC加工成三种不同的化工产品甲乙丙，已知各种产品中ABC含量，原料成本各种原料每月限制用量以及三种产品的单位加工费和售价如下表所示，问该厂每月应生产这三种产品各多少千克，才能使该厂的获利最大，试建立这个线性规划问题的数学模型（2001） A B C 加工费（元/
甲 ≥60% ≤20% 0.50 乙 ≥15% ≤60% 0.40 丙 ≥10% ≤50% 0.30 原料成本（元/千克） 2 1.5 1 每月限制用量（千克） 2000 2500 1300 4
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千克） 售价（元/千克）
3.40 2.85 2.25
二、线性规划相关证明
1、 若某一线性规划问题同时在其可行域D上的两个顶点取得最优解，证明该线性规划问题
有无穷多个最优解。
证明：设线性规划的标准型为
max z?CXs.. tAX?b X?0设X1与X2为该线性规划问题可行域D上的两个最优解，令X0 =λX1 +(1-λ) X2，其中λ∈[0,1]. 已知z?CX1?CX2,AX1?AX2?b，则
CX0?C??X1?(1??)X2???CX1?(1??)CX2??z?(1??)z?zAX0?A??X1?(1??)X2???AX1?(1??)AX2??b?(1??)b?b
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