2019-2020年高中数学 1.3.4三角函数的应用练习（含解析）苏教版
必修4
情景：如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m，风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．
思考：你能求出函数h＝f(t)的关系式吗？你能画出它的图象吗？
1．已知函数类型求解析式的方法是________． 答案：待定系数法
2．在y＝Asin(ωx＋φ)的解析式确定中最关键是确定________，可通过________来确定．
答案：ω 周期
3．三角函数平移变换改变图象的________，伸缩变换改变图象的________． 答案：位置 形状 4
．
函
数
y＝f(x)与y＝f(|x|)图象关系是
___________________________________________________________ __________________________________________________________.
答案：y＝f(x)在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，连同y＝f(x)在y轴右侧的图象在一起，即是y＝f(|x|)的图象(也包括与y轴的交点)
5
．
函
数
y＝f(x)与y＝|f(x)|图象关系是
___________________________________________________________ __________________________________________________________.
答案：y＝f(x)在x轴下方的图象关于x轴对称的图象，连同y＝f(x)在x轴上方的图象在一起，即是y＝|f(x)|的图象(包括图象与x轴交点)
6．三角函数可以作为描述现实世界中________现象的一种数学模型．
答案：周期
7．y＝|sin x|是以________为周期的波浪型曲线． 答案：π
8．在三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b，(A＞0，ω＞0)中，f(x)的最大值为M，最小值为m，则A＝________，b＝________，周期T＝________，φ的值要利用________求得．
答案：
9．用数学知识研究生活中的数学问题，应首先采集________，然后根据数据作出________，通过计算归纳函数关系式，再去研究它的性质，解决实际问题时最容易忽视的是__________________________________________________________．
答案：数据 分析 实际问题中自变量的取值范围
10．解三角函数的应用问题的基本步骤是
________________________________________________________、 ______________、______________．
答案：阅读理解，审清题意 收集整理数据，建立数学模型依据模型解答，求出结果 将所得结果转化成实际问题
M－mM＋m2π
2 2 ω
代点法
三角函数模型的应用
三角函数的应用主要是其性质的应用，特别是三角函数周期性的应用，一些物理现象如单摆、匀速圆周运动等均用到三角函数的知识．
建模的一般步骤
数学应用题一般文字叙述较长，反映的事件背景新颖，知识涉及面广，这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力．
解决此类函数应用题的基本步骤是：
第一步，阅读理解，审清题意，读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步，根据所给模型，列出函数关系式．根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．
第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步，再将所得结论转译成原有问题的解答．
基础巩固
1．如果音叉发出的声波可用f(x)＝0.002sin 520πt描述，那么音叉声波的频率是________．
答案：260
2．已知函数y＝2sin ωx(ω＞0)的图象与直线y＋2＝0的相邻两个公共点之间的距离2π
为，则ω的值为________． 3
答案：3
3．y＝|sin 2x|的最小正周期是________． π答案：
2
π??4．下图是函数y＝2sin(ωx＋φ)?|φ|＜?的图象，则ω＝________，φ＝________． 2??
答案：2
π 6
5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，
y)．若初始位置为P0?
?31?
，?，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标?22?
y与时间t的函数关系式为________．
π??π
答案：y＝sin?－t＋?
6??30
π?π?6．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的初相为，且f(x)的图象过点P?，A?，
4?3?则函数f(x)的最小正周期的最大值为________．
8π
答案：
3
7．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－3cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析：(1)因为f(t)＝10－2?
1π??3π?πt＋π?，又0≤t<24，
＝10－2sin ?12cost＋sint?3???12212??2
π
12π12
π?πππ7π?π
所以≤t＋<，－1≤sin?t＋?≤1.
3?31233?12当t＝2时，sin?
?πt＋π?＝1；
3??12?
π??π
当t＝14时，sin?t＋?＝－1.
3??12
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温． 由(1)得f(t)＝10－2sin?故有10－2sin?即sin?
?πt＋π?，
3??12?
?πt＋π?>11，
3??12?
?πt＋π?<－1.
3??12?2
7πππ11π
又0≤t<24，因此 61236即10 故在10时至18时实验室需要降温． 能力升级 π??8．关于x的方程sin ωx＝cos ωx在区间?b，b＋?上解的个数判断正确的是( ) ω??A．只有一个解 B．至少有一个解 C．至少有两个解 D．不一定有解 解析：本题考查y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的图象．由于y＝sin ωx与yπ?2π?＝cos ωx的周期是，而区间?b，b＋?是半个周期的长度．y＝sin ωx与y＝cos ωxω?ω? ?π?在半个周期内至少有一个交点，最多有两个交点．∴sin ωx＝cos ωx在?b，＋b?内至 ?ω? 少有一个解． 答案：B 9．方程sin x＝k在? ?π，π?上有两个不同解，则实数k的取值范围是________． ??6? ?π?解析：作出y＝sin x和y＝k在?，π?上的图象，若两图象有两个交点，数形结合知 ?6? 1 ≤k＜1. 2