重庆科技学院教案用纸
第 5 次课 课题：动量传输的基本定律（2学时）
一、本课的基本要求
1．了解N-S方程的建立依据、推导方法、适用条件。 2．掌握N-S方程的物理意义。 3．了解欧拉方程的适用条件。 二、本课的重点、难点
重点：N-S方程的物理意义。 难点：N-S方程的推导方法。 三、作业
思考题：N-S方程对紊流流动是否适用？ 四、教参及教具
《动量、热量、质量传输原理》 高家锐主编 重庆大学出版社 图2-10 图2-11
2.3 黏性流体动量平衡方程?纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
描述黏性不可压缩流体动量守恒的运动方程。1821年由纳维和1845年由斯托克斯分别导出。简称N-S方程。
⒈ 动量平衡的定义
作用力形式流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡。? ??动量形式mdv??F?0，静止，静力平衡 ?
?F?0，运动，动力平衡d??作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
对于稳定流动系统： [动量传入量] ? [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0 (A) 对于不稳定流动系统：
[动量传入量] ? [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] (B) 动量收支差量
dvx?粘性动量传输：粘性动量通量?????yxdy ⒉ 动量传递方式 ??对流动量传输：对流动量通量?vv?根据牛顿第二定律：?F?ma??表面力－压力⒊ 作用力的形式 ?
体积力－重力?⒋ 动量平衡方程的推导
在流场中取一微元体，对所取的微元体建立动量平衡，即得N-S方程。图2-11 P26 ⑴ 对流动量收支差量
在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。
??vx?vx?vx?vy?vx?vz??vy?vy?vy?vz ??vy?vx??vz?vy?vz?vz??vz?vx以vx为准：动量通量?vxvxA
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?vxvx? 动量通量收支差量为
??(?vxvx)dx ?xx?x?(?vxvx)dx ?xBx方向的速度、x方向的动量通量
?(?vxvx)dxdydz 对流动量收支差量为 ??xx?x同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量：?
??(?vyvx)?ydxdydzx?y
?(?vzvx)dxdydz ?zx?z以vx为准，元体对流动量收支差量为
??(?vxvx)?(?vyvx)?(?vzvx)??????dxdydz
?x?y?z??同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx? vy、vz
⑵ 黏性动量收支差量
黏性动量通量同样由九个分量组成。 以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 ?zxC ?zxD??zx黏性动量通量收支差量 黏性动量收支差量
????zxdz ?zC???zxdz ?z??zxdxdydz ?z??yx??dxdydz ?xxdxdydz 同理，vx在y、x方向的黏性动量收支差量分别为??y?x???xx??yx??zx???以vx为准，元体黏性动量收支差量为 ???dxdydz ?z?y?z??同理，以vy、vz为准的黏性动量收支差量为x ? y、z
?v?v?v牛顿流体：?zx???x ?yx???x ?xx???x
?y?z?x⑶ 作用力的总和 图2-10 P24
?Px方向：PA PB?PA?dx
?xx方向合压力为
?P PA?PB ?dx
?x?Px方向的总压力为 ?dxdydz
?x同理，y、z方向的总压力为x ? y、z
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重力 ?gxdxdydz ?gydxdydz ?gzdxdydz ⑷ 动量蓄积量
单位时间内元体动量的变化量：x方向
?(?vx)dxdydz ??y方向 vx?vy z方向 vx?vz
⒌ 动量平衡方程式
将以上式子代入(B)式，整理得：N-S方程 简化：⑴ ??const，牛顿黏性定律
⑵ ??const，连续性方程 ⒍ 动量平衡方程的讨论 ⑴ 物理意义
??2vx?2vx?2vx??P??vx?vx?vx?vx????vx?vy?vz???2?????gx ?22??x?y?z??y?z??x?????x式中 ??vxkg?ms?单位时间、单位体积流体的动量变化量，； ??m3?s?2vx?vx……?对流动量；?……?黏性动量； ρvx2?x?x?P?单位体积流体上的压力，N/m3；?gx?重力。 ?x?动量形式方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现。?
作用力形式?全微分 v?v(?,x,y,z)
?v?v?v?vdv??d???dx??dy??dz
???x?y?z?v?v?v?vdv?v?v?v?v??vx??vy??vz ???vx??vy??vz a????x?y?zd????x?y?z?v?v?v?vax?x?x?vx?x?vy?x?vz
???x?y?z??2vx?2vx?2vx??Pdvx????2?????gx 22?d??x?x?y?z????2vx?2vx?2vx?dvx?P?式中 ??惯性力；??2??黏性力；?压力； 22??y?z?d??x??x?gx?重力；其单位均为N/m3。
由此可见，流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡关系是统一的。 ⑵ 适用条件
黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)、层流流动。
2.4 理想流体动量平衡方程?欧拉方程（Eular equations） 理想流体：没有黏性的流体，??0。
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实际流体都具有黏性，提出理想流体的意义何在？简化： ① ??0时，N-S方程简化为欧拉方程 ② 稳定流动，?v???0 ③ 单位质量流体
?vx?vx1?P??vxv?v?v????gxyz?x?x?y?z??x??vy?vy??vy1?P v?v?v????gy?xyz?y?y?z??y???vz?vz?vz1?Pv?v?v????gz?xyz?x?y?z??z?欧拉方程适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)。
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第 6 次课 课题：动量传输的基本定律（2学时）
一、本课的基本要求
1．了解伯努利方程微分式的物理意义。
2．掌握伯努利方程积分式的形式，适用条件，物理意义。 3．掌握管流伯努利方程式及应用。 二、本课的重点、难点
重点：管流伯努利方程式的应用。 难点：管流伯努利方程式的应用。 三、作业
习题P38 2-8 2-10 四、教参及教具
《动量、热量、质量传输原理》 高家锐主编 重庆大学出版社 图2-12
2.5 欧拉方程的简化?伯努利方程（Bernoulli equations）
⒈ 伯努利方程式的微分式
在流场中，流体质点于流线方向上具有一维流动的特征，对于理想流体，在稳定流动的条件下，沿流线方向作一维流动的动量平衡方程式可由欧拉方程简化处理。处理过程中用到两个概念。
① 全微分 v?v(x,y,z) P?P(x,y,z) 根据全微分的定义，在稳定流动下，有：
?v?v?vdv?dx?dy?dz
?x?y?zdv?vdx?vdy?vdz ???d??xd??yd??zd?dv?v?v?v ?vx?vy?vzd??x?y?zdvx?v?v?v?vxx?vyx?vzx d??x?y?z ?v?v?vdvdvdxdv同时，x?x?vxx?vxx?vyx?vzx
?x?y?zd?dxd?dx1?P?dvxv????gx?xdx??x??dvy1?P则 ?vy ????gydy??y??dvz1?P????gz?vzdz??z?② ?z?ggx?0gy?0gz??g
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