福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习 解析几何教案
文
平面解析几何 用代数方法研究几何图形的几何性质，体现着数形结合的重要数学思想．直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容，题量一般为一道解答题和两道填空题．江苏高考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解，圆锥曲线突出了直线与椭圆（理科有与抛物线）的位置关系，淡化了直线与双曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的有关问题始终是命题的热点内容之一，必考一道解答题．直线与圆锥曲线所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高，所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置关系、定点（定值）、最值以及参数的取值范围等． 本单元二轮专题和课时建议： 课时 专题 内容说明（核心） 备注 第一课时 直线与圆 直线和圆的基本构成要素、点到直线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第二课时 第三课时 椭圆、双曲线、抛物线 圆锥曲线的定义、方程及性质、直线与椭圆的位置关系 解析几何综合应用 解析几何定点与定值问题、范围与最值问题、探索问题 第一课时 直线与圆 教学目标：在2013年的备考中，需要关注：
（1）直线的基本概念，直线的方程，两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识； （2）活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系； （3）对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。 一、基础回顾：
1、若直线(a＋2a)x－y＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 2、经过x?y?2x?4y?1?0的圆心，且倾斜角为
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22?的直线方程为 . 63、直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋(a－1)＝0平行，则a＝________.
4、直线x?3y?2?0与圆x?y?4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于 . 5、已知圆C:?x?2???y?1??2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为 .
6、过点A?0,6?且与圆C:x?y?10x?10y?0切于原点的圆的方程为 . 222222二、典型问题
基本题型一：直线的概念、方程及位置问题
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例1 过点P(3,2)作直线l，交直线y＝2x于点Q，交x轴正半轴于点R，当△QOR面积最小时，求直线l的方程．
解析： 方法一：设点Q的坐标为(a,2a)，点R的坐标为(x,0)，其中x>0.
当a＝3时，△QOR的面积S＝9； 当a≠3时，因为P，Q，R三点共线， 22a－22a所以＝，解得x＝(a>1)，
3－xa－3a－1
12a1∴△QOR的面积S＝|OR|·2a＝＝2[(a－1)＋＋2]．
2a－1a－1当且仅当a－1＝
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(a>1)，即a＝2时，S取得最小值8. a－1
2
此时点Q的坐标为(2,4)，将Q，P两点坐标代入直线方程两点式，并整理得2x＋y－8＝0.
解法二：设l的方程为x＝3或y－2＝k(x－3)， 当l的方程为x＝3时，△QOR的面积S＝9；
??y＝2x，
当l的方程为y－2＝k(x－3)时，联立方程组?
?y－2＝k?
x－
，
解这个方程组，得点Q的坐标为?
?3k－2，6k－4?. ??k－2k－2?
?3k－2，0?，
?
?k?
在方程y－2＝k(x－3)中，令y＝0，得点R的坐标为?13k－26k－4（3k－2）
∴△QOR的面积S＝··＝2，
2kk－2k－2k变形得(S－9)k＋(12－2S)k－4＝0，
2
2
22因为S≠9，所以判别式Δ≥0，即(12－2S)＋16(S－9)≥0，化简，得 S－8S≥0， 当且仅当k＝－2时，S取得最小值8，此时直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，
即2x＋y－8＝0.
综上，当△QOR的面积最小时，直线l的方程为2x＋y－8＝0.
说明：直线方程是平面解析几何的基础内容，该考点属于高考必考内容，且要求较高，均属理解、掌握的内容．纵观近几年的高考试题，一般以填空题的形式出现．求直线的方程要充分利用平面几何知识，采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法；平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系，高考一般考查平行或垂直的应用．
基本策略：(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法时，要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，可以设直线l：x＝ky＋m，不能平行于x轴的直线，防止丢解．另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路．
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(2) 求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．
基本题型二：圆的方程及圆的性质问题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29,0)．
(1) 求圆弧C2所在圆的方程；
(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
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解析：(1) 由题意知，圆弧C1所在圆的方程为x＋y＝169.
当x＝5时，y＝±12，所以点M(5,12)，N(5，－12)． 由对称性知，圆弧C2所在圆的方程的圆心在x轴上．
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设圆弧C2所在圆的方程为(x－a)＋y＝r2，将M(5,12)，A(29,0) 代入，得
?????
－a＋144＝r2，－a＝r2，
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?? a＝14，
解得 ?
? r2＝15.?
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故圆弧C2所在圆的方程为(x－14)＋y＝225，即x＋y－28x－29＝0.
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(2) ①如果点P在圆弧C1上，设P(x0，y0)(－13≤x0≤5)，则x0＋y0＝169. 由PA＝30PO，得(x0－29)＋y0＝30(x0＋y0)，即x0＋y0＋2x0－29＝0， 所以169＋2x0－29＝0，解得x0＝－70，与－13≤x0≤5矛盾；
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②如果点P在圆弧C2上，设P(x0，y0)(5≤x0≤29)，则(x0－14)＋y0＝225，
由PA＝30PO，得(x0－29)＋y0＝30(x0＋y0)，解得x0＝0，与5≤x0≤29矛盾． 综上所述，曲线C上不存在点P，使PA＝30PO.
说明：对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空题的形式直接考查，或是在解答题的综合考查． 基本策略：求圆的方程有两类方法：
(1)几何法：通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心、半径)，进而得到圆的方程．
(2)代数法：用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程． 基本题型三：直线与圆的位置关系
例3如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程；
(2)当MN＝219时，求直线l的方程；
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→→(3)BQ·BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
解 (1)设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， |－1＋4＋7|∴R＝＝25.
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∴圆A的方程为(x＋1)＋(y－2)＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.
|k－2|
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＝1，得k＝.
4k2＋1
∵MN＝219，∴AQ＝20－19＝1.由AQ＝∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
→→→→→→→→→→→→→
(3)∵AQ⊥BP，∴AQ·BP＝0.∴BQ·BP＝(BA＋AQ)·BP＝BA·BP＋AQ·BP＝BA·BP.
5?5???当直线l与x轴垂直时，得P?－2，－?.则BP＝?0，－?，又BA＝(1,2)， 2?2???
→→→→→→∴BQ·BP＝BBA·BP＝－5.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
?，? y＝kx＋由?
? x＋2y＋7＝0?
?－4k－7，－5k?.，∴BP＝?－5，－5k?.
解得P???1＋2k1＋2k?
?1＋2k1＋2k???
→
→→→→－510k∴BQ·BP＝BA·BP＝－＝－5.
1＋2k1＋2k→→→→综上所述，BQ·BP是定值，且BQ·BP＝－5.
说明：弦长问题是高考命题的热点，同时，对于这部分知识，高考常有创新，如与向量知识结合等．层次要求较高，从近年来的命题趋势看，命题形式以填空题为主，在复习时，要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形，从而准确地解答问题．
基本策略：(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形关系来处理．
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(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨．
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基本题型四：直线与圆的综合应用问题
例4 如图所示，已知直线l:y?x，圆C1的圆心为（3，0），且经过点A?4,1?． （1） 求圆C1的方程；
（2） 若圆C2与圆C1关于直线l对称，点B、D分别为圆C1、C2上任意一点，求|BD|的最小值；
（3） 已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1
个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒22个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒。问：当t为值时直线PQ与圆C1相切？
说明：直线与圆的综合应用问题上高中一类重要问题，常常以解答题形式出现，常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程问题，这些问题是探索性问题、证明问题、求值问题等。因此研究此类问题就显得非常重要． 基本策略：对这类问题的求解，首先，我们要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关
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