三角函数的图象与性质
基础梳理 1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π?3
，1 (π，0) ?π，－1? (2π，0) (0,0) ??2??2? (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π?3π
，0，(π，－1)，?，0?，(2π，1) (0,1)，??2??2?2.三角函数的图象和性质
函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： π_(kπ＋，0) (k∈Z)__ 2 2π 单调增区间[2kπ－π，π单调增区间_(kπ－，2πkπ＋)(k∈Z)___ 2kπ?对称中心：_??2，0? (k∈Z) __ R π对称轴：__ x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)__ _； 对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间_[2kπ－π ππ，2kπ＋](k∈Z)___； 2kπ] (k∈Z) ____； 22单调性 单调减区间[2kπ，2kππ单调减区间[2kπ＋，2＋π](k∈Z)______ 3π 2kπ＋] (k∈Z) __ 2奇函数 偶函数 奇偶性 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π . |ω|2π ， |ω|
4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)yππ
2x－?；(2)y＝sin?－2x?. ＝sin?4???4?热身练习:
π
x＋?，x∈R( )． 1．函数y＝cos??3?
A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 π?
2．函数y＝tan??4－x?的定义域为( )．
ππ
x≠kπ＋ ，k∈Z D.x?x≠2kπ＋ ，k∈Z C.x?44??
?????ππ
?xx≠2kπ－，k∈Z? x≠kπ－，k∈Z? A.?x?B.44???
?
?
?
?
??
???
???
???
π
3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( )
3
ππππ
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 612612
π
x－?的图象的一个对称中心是( )． 4．y＝sin??4?A．(－π，0)
3π3π
－，0? C.?，0? B.??4??2?
π?
D.??2，0?
( )
5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0，π)
π3π
－，0? C.?，2π? B.??2??2?π
－π，－? D.?2??
ππ
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，
62
则f(x)的单调递增区间是( )
πππ
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
362π2ππ
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
632
xπ?
7.函数f(x)＝3cos?R的最小正周期为________． ?2－4?x∈π
x＋?的最大值为_______，此时x＝_____ _________. 8..y＝2－3cos??4?ππ
10．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[，]上的最大值是 .
42
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝sin x－cos x. 变式训练1 (1)求函数y?lg(2sinx?1)??tanx?1的定义域；
x?cos(?)28
题型二、三角函数的五点法作图及图象变换
π
例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
6
(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图； (2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？
题型三 三角函数图象与解析式的相互转化
π
例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
2
(1)求f(x)的解析式；
π
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在
12
ππx∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．
63
π
例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点
2
π2π
中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
23
(1)求f(x)的解析式；
π1
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，122
纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围．
题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π
例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.
2
π3π
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
44
π
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的
3
解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： π
－2x＋?；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin?3??
ππ
＋4x?＋cos?4x－?的周期、单调区间及最大、最小值； 变式训练2 (1)求函数y＝sin?6??3??π
x＋?－1. (2)已知函数f(x)＝4cos xsin??6?
ππ
－，?上的最大值和最小值. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间??64?
题型六、三角函数的对称性与单调性及应用