23.（本题满分10分）
如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、
???????????R）BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足A． 1P??A1B1（
（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．
A1P
B1 A BN
24．(本题满分10分)
设等差数列?an?的首项为1，公差d（d?N*），m为数列?an?中的项．
C1MC?的展开式中是否含有常数项？并说明理由；
（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，?x?1?的展开式中均不含常数项．
x（1）若d?3，试判断x?1xmm?
20150828数学试题 (理科) 第 6 页 共 12 页
20150828高三数学参考答案(文科/理科)
一、填空题（每小题5分，计70分）
3 5、22 371?6、 7、（文科）－1 ，（理科）13?1 8、 9、8
43??110、(?5,??) 11、(?,) 12、
3321、?2? 2、?x?R,sin(x??)?0 3、-6 4、73?2633?26,?)?(0,) ， （理科） log3?t?1
3545114、（文科）25?2 ，（理科）[?1,?)
313、 （文科）(?二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本题满分14分）
????解：⑴因为a?b，所以4?3?5cos(??)???4tan(??)??0，?????????2分
6?6?π?3解得 sin(??)?，又因为??(0,) ?????????3分
652∴∴
?6
6523?6????6??2 ?????????5分 （注：不交待些范围的，要扣2分）
?4∴cos(??)?， ?????????6分
65所以a-2b=(?2,10)，因此|a-2b|?4?100?226 ． ?????????8分
??????3424???（2）由（1）知，∴sin?2????2sin????cos????=2??=。
3?6?6?5525?????7? ∴cos?2????。 ?????????11分
325??∴sin(2a??12)=sin(2a?????????2427217??2 ?)=sin?2a??cos?cos?2a??sin=???=25225250343434?????????????14分
16．（本题满分14分）
????????1解：（1）由题意知，AB?AC?bccosA,S?bcsinA,
2所以bccosA?3bcsinA，即cosA?3sinA，?tanA?因为A为三角形内角，所以A?3，????????4分 3?6；????????3分 （不交待角的范围扣1分）
（2）设tanA?m，tanB?2m，tanC?3m，由题意知，m?0．
tanA?tanB3m因为tanC??tan(A?B)??，????????10分 ，则3m?? 1?tanA?tanB1?2m220150828数学试题 (理科) 第 7 页 共 12 页
解得m?1，则tanB?2，tanC?3，从而sinB?所以
25310，sinC?，???????12分 510ACsinB2222??，则AC?．????????14分 ABsinC 3 317、（本题满分15分）
a2?b2?c2?0, 解：(1) 因为，a?b?c，由余弦定理cosC?2ab222所以，C为钝角. ???????2分
1??3?)?, 又?2C??, 22222?5?2?∴2C??， ∴C? ???????6分
263∵sin(2C??（2）由（1）得，B=根据正弦定理，
?3?A，0?A??3. ???????8分
a?bsinA?sinB2?2???[sinA?sin(?A)]=sin(A?)?????12分 csinC3333?2?3?，∴?sin(A?)?1 323又，从而
?3?A??3a?b23的取值范围是(1,] ?????15分 c318、（本题满分15分， 文科题）
解：（1）如图，连结AC，BC，PC，记PC交AB于D， 因为，PA，PB是圆C的切线，
所以CA⊥PA，CB⊥PB，PC⊥AB ?????2分 在Rt△PAC中，PC=35, AC=3, ∴PA=6
ACDBP3由Rt△PAC∽ Rt△ADC得，CD??????4分
51由条件知，圆心C(4,2)，∴kPC?，kAB??2
2可设直线AB的方程为y??2x?m，即2x?y?m?0， |10?m|3∴，∴m?7或m?13（舍去） ?2252?1所以，直线AB的方程为y??2x?7?????7分
（2）在经过点A，B的所有圆中，以AB为直径的圆，其面积最小. ?????9分 直线PC的方程为x?2y?0，与y??2x?7联立，
147,)?????11分 556由（1）知，AD?2CD??????13分
51427236∴所求圆的方程为：(x?)?(y?)? ?????15分
555解得点D的坐标为(18、（本题满分15分， 理科题）
解：（1）A?[?1,1]，因为C?A，
20150828数学试题 (理科) 第 8 页 共 12 页
二次函数f(x)?2x2?mx?1图像开口向上，且??m2?8?0恒成立， 故图像始终与x轴有两个交点，?????3分
由题意，要使这两个交点横坐标x1,x2?[?1,1]，当且仅当：
??f(?1)?0??f(1)?0，解得：?1?m?1?????7分 ?m?1???1?4? （2）h(x)?f(x)?g(x)，则h(x)?x2?|x?a|?1
22（i）当x?a时，h(x)?x?x?a?1?(x?)?a?125， 41，则函数h(x)在(??,a]上单调递减， 2从而函数h(x)在(??,a]上的最小值为h(a)?a2?1．
1151若a?，则函数h(x)在(??,a]上的最小值为h()???a，且h()?h(a)．?????9分
22421252（ii）当x?a时，函数h(x)?x?x?a?1?(x?)?a?
241151若a??，则函数h(x)在(??,a]上的最小值为h(?)???a，且h(?)?h(a)
22421若a??，则函数h(x)在[a,??)上单调递增，
2从而函数h(x)在[a,??)上的最小值为h(a)?a2?1． ?????11分
15综上，当a??时，函数h(x)的最小值为??a
24112当??a?时，函数h(x)的最小值为a?1
2215当a?时，函数h(x)的最小值为??a． ?????13分
241711 由函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值为，解得a? ?????15分
42当a?19、（本题满分16分）
???解：（1）由题?COD??，?AOD???2?，???0,?
?2?取BC中点M，连结OM．则OM?BC，?BOM?∴BC?2BM?2sin同理可得CD?2sin∴l?2?2sin?2DCMBOA．
?2． ?????2分 ，AD?2sin?2??2?2?2cos?． ?????2分
?2?2sin2??????2cos??2?1?2sin2??4sin?2．?????6分 22?2??1???1????即l??4?sin???5,???0,?．∴当sin?，即??时，有lmax?5． ?????8分
22?223??2?20150828数学试题 (理科) 第 9 页 共 12 页
（2）S?BOC?sin?，S?AOD?sin???2???sin?cos?，S扇形COD??．
1212121124111∴S'?cos??cos2??sin2????4cos??3??2cos??1?
244????∵???0,?，∴解S'?0得??，列表得
3?2?∴S?sin??sin?cos???． ?????12分
? S' S ∴当??????0,??3? ＋ 递增 ?3 0 极大值 ?????,??32? － 递减 ?3时，有Smax． ?????15分
答：（1）当??（2）当???3时，观光道路的总长l最长，最长为5km；
时，鲜花种植面积S最大． ?????16分
?3 20、（本题满分16分）
解：（1）函数f(x)?mx?(m?2)lnx?2的定义域为(0,??)． xm?22(mx?2)(x?1)， ?????3分 ?2?xxx2因为m?0，
则当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0； f?(x)?m?所以f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,??)． ?????6分 （2）若存在x1,x2?[1,2]，使得f(x1)?g(x2)?1，
等价于x?[1,2]时，f(x)max?g(x)min?1成立． ?????9分 由（1）得，当m?0时，f(x)在[1,??)上单调递减，
所以当x?[1,2]时，f(x)max?f(1)?m?2． ?????12分
m2m2而g(x)?x?mx?1?(x?)?1?．
24m（ⅰ）当0???1，即?2?m?0时，g(x)min?g(1)?2?m，
2 于是m?2?3?m，矛盾!
m2m(ⅱ) 1???2，即?4?m??2时，g(x)min?1?，
24m2 于是m?2?2?，矛盾!
4m（ⅲ）当??2，即m??4时，g(x)min?g(2)?5?2m，
2于是m?2?6?2m，所以m??8．
综上，m的取值范围是m??8． ?????16分
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