20150828理科附加题参考答案
21．（本题满分10分）
?4x?xy?＝??， 4x，?，即M?解：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点???y2???y????2?
?40?
所以M＝?
?1，?????4分
?0??2?
?40?abab??，于是有MM－1＝??＝?1－??设M1＝???1 ??0??cd??cd???0
?2?
4a＝1
1a＝4b＝04
?10
所以c＝0，解得b＝0， 所以M的逆矩阵为?4
?2
?02c＝0
d
d＝2＝1
2
0?
?，?????6分 1?
?????
??
???
?
?．?????10分 ??
22．（本题满分10分）
12CC15 1010解：（1）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P?A???338C20答：若从选派的学生中任选3人进行青奥足球知识竞赛活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率
为
15. ………………………4分 381. 3（2）解法1：?的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
32; 161?1??2?0?1??2?所以 P???0??C4?????; P???1??C4?????8181?3??3??3??3?8248; ?1??2?3?1??2?P???3??C4P???2??C???????????;
8127?3??3?81?3??3?242204133114?1??2?P???4??C4?????. ………………………8分 81?3??3?40? P(?) 0 1 2 3 4 32881 27818181163224814?1??2??3??4?? ………………………10分 所以E??0?81818181813
23．（本题满分10分） 解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系A－xyz．
111则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），
222
16 81?????????111从而PN＝（－λ，，－1），AM＝（0,1，），………………3分
222
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?????????111
PN?AM＝（2－λ)×0＋2×1－1×2＝0，所以PN⊥AM； ………………5分
????（2）平面ABC的一个法向量为n＝AA． 1＝（0,0,1）
设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），
(??)x?y?z?0,?????1?m?NP?0,??22由（1）得MP＝（λ，－1，）．由? 得?2
??m?MP?0,??x?y?1z?0.?2??112??1?y?x,??3解得?令x?3,得m?(3,2??1,2(1??))．………………8分 ?z?2(1??)x.?3?∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
|2(1－λ)|m·n2∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝， 22|m|·|n|29＋(2λ＋1)＋4(1－λ)
11
解得λ＝－．故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝． ………………10分
22
24．（本题满分10分）
解：（1）因为?an?是首项为1，公差为3的等差数列，所以an?3n?2．……………………1分 假设x?1x?Tr?1?Cxrm?rm， ?的展开式中的第r+1项为常数项（r?N）
r?0．……………………3分 ?1x??C?x，于是m?32mrrmm?3r2设m?3n?2n?N*，则有3n?2?3r，即r?2n?4，这与r?N矛盾．
23??所以假设不成立，即x?1x??的展开式中不含常数项． ……………………5分
m（2）证明：由题设知an=1?(n?1)d，设m=1?(n?1)d， 由（1）知，要使对于一切m，x?1x??的展开式中均不含常数项，
m必须有：对于n?N*，满足1?(n?1)d?3r=0的r无自然数解，
2即r?2d(n?1)?2?N． ……………………8分
33当d=3kk?N*时，r?2d(n?1)?2?2k(n?1)?2?N．
333??故存在无穷多个d，满足对每一个m，x?1x
??的展开式中均不含常数项．……………………10分
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