2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）(2013湖北理)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2iz?1?i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )D (2013湖北理)1．在复平面内，复数A．第一象限
C．第三象限 D．第四象限
1A?{x()x?1}B?{xx2?6x?8?0}2(2013湖北理)2．已知全集为R，集合，，则AeRB?( )C A．
{xx?0}B．第二象限
B．
{x2?x?4} C．
{x0?x?2或x?4}D．
{x0?x?2或x?4}
(2013湖北理)3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是
“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A A．(?p)∨(?q) B．p∨(?q)
C．(?p)∧(?q) D．p∨q
(2013湖北理)4．将函数y?3cosx?sinx(x?R)的图象向左平移m(m?0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )B
ππA．12 B．6
πC．3 5πD．6
πx2y2y2x20????2?1?2?1222CC124cos?sin?sin?sin?tan?(2013湖北理)5．已知，则双曲线：与：的( )D A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等
D．离心率相等
(2013湖北理)6．已知点A(?1,1)、B(1,2)、C(?2,?1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )A
3231532315??2 D．2 A．2 B．2 C．
(2013湖北理)7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
25v(t)?7?3t?1?t（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是( )C
118?25ln3 C．4?25ln5 D．4?50ln2 A.1?25ln5 B．
第8题图
(2013湖北理)8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为
多面体，则有( )C
A．V1?V2?V4?V3 B．V1?V3?V2?V4 C．V2?V1?V3?V4 D．V2?V3?V1?V4 (2013湖北理)9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X12661687的均值E(X)?( ) B A．125 B．5 C．125 D．5
(2013湖北理)10．已知a为常数，函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点x1，x2(x1?x2)，则( )D
1111f(x2)??f(x2)??f(x2)??f(x2)??2 B．f(x1)?0，2C．f(x1)?0，2 D．f(x1)?0，2 A．f(x1)?0，
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
(2013湖北理)11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中x的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. （Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70
a?4?开a?10, i?1是 否 是 a是奇数否 ?
a?3a?1a?a2 输i
第11题图
i?i?1结 (2013湖北理)12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i?_________.5 (2013湖北理)13．设
x,y,z?R222x?y?z?x?y?z?1，x?2y?3z?14，，且满足：则_________.3147 (2013湖北理)14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，
n(n?1)121?n?nn222. 记第n个k边形数为N(n,k)(k?3)，以下列出 第个三角形数为
了部分k边形数中第n个数的表达式：
，
11N(n,3)?n2?n22， 三角形数
2N(n,4)?n正方形数 ，
31N(n,5)?n2?n22， 五边形数
2六边形数 N(n,6)?2n?n，
………………………………………
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)?_________. 1000
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
(2013湖北理)15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为
CED OABCEE．若AB?3AD，则EO的值为_________．8 (2013湖北理)16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
?x?acos?,?y?bsin?xOy在直角坐标系中，椭圆C的参数方程为?（?为参数，a?b?0）. 在
第15题图
极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为
?sin(??)?π42m2（m为非零常数）
6与??b. 若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________.3
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (2013湖北理)17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos2A?3cos(B?C)?1.
isnisBb?5，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S?53，求nC的值（Ⅰ.）由cos2A?3cos(B?C)?1，
得2cosA?3cosA?2?0, 即(2cosA?1)(cosA?2)?0，解得
2cosA?12 或cosA??2（舍去）. 因为
0?A?π，所以
A?1133πS?bcsinA?bc??bc?53,22243. （Ⅱ）由得bc?20. 又b?5，知c?4. 由
222a?b?c?2bccosA?25?16?20?21,余弦定理得
故a?21.又由正弦定理得
bcbc2035sinBsinC?sinA?sinA?2sin2A???aaa2147. (2013湖北理)18．（本小题满分12分）
已知等比数列{an}满足：|a2?a3|?10，a1a2a3?125.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数
m，使得
11??a1a2?1?1am？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.
33??a1q?125,?|a1q?a1q2|?10,{a}??n（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则由已知可得
5??a1?,?a1??5,3???q??1.q?3,?解得 或?
1131n?15n?15n?13{}??()an??3an??3n?1aa5333故，或an??5?(?1). （Ⅱ）若，则n，故n是首项为5，公比为
13的等比数列，
31?[1?()m]1591m93???[1?()]??1?110310n?1an1?3从而.
mn?1若an?(?5)?(?1)m，则
11??(?1)n?1an5，故
1{}an1是首项为5，公比为?1的等比数列，
??11??,m?2k?1(k?N?),m1??5??1?n?1an?a0,m?2k(k?N).n?1n??从而 故.
1?1?n?1an?m综上，对任何正整数m，总有
. 1?1am故不存在正整数m，使得
11??a1a2成立.
(2013湖北理)19．（本小题满分12分）
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC?平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点.
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
1DQ?CP2（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足. 记直线PQ与平面ABC所成的角为?，异面直线PQ与EF所成的角为?，二面角E?l?C的大小为?，求证：sin??sin?sin?.
第19题图
(2013湖北理)20．（本小题满分12分）
2N(800,50)的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的X假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布
旅客人数不超过900的概率为p0. （Ⅰ）求p0的值；
2N(?,?)，有P(????X????)?0.6826X（参考数据：若～，P(??2??X???2?)?0.9544，
P(??3??X???3?)?0.9974.）
（Ⅱ）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆. 若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆?
y (2013湖北理)21．（本小题满分13分）
A CCxOMN12如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，B 短轴长分别
为2m，2n(m?n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从
M D C O N x m??n，△BDM和△ABN的面积分别为S1大到小依次为A，B，C，D．记和S2.
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1??S2，求?的值；
第21题图
（Ⅱ）当?变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2？并说明理由． (2013湖北理)22．（本小题满分14分）
设n是正整数，r为正有理数.
r?1f(x)?(1?x)?(r?1)x?1(x??1)的最小值； （Ⅰ）求函数
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r?n?r?1r?1（Ⅱ）证明：；
?3???2???1x2?2π?4??????（Ⅲ）设x?R，记??为不小于x的最小整数，例如??，??，??.
333令S?81?82?83??S???3125，求?的值.