（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7）
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题 二、填空题
三、解答题 17．
18．
19．
（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC. 而EF?平面BEF，且平面BEF平面ABC?l，所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC.
第19题解答图1 第19题解答图2
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC. 因为AB是O的直径，所以AC?BC，于是l?BC.
已知PC?平面ABC，而l?平面ABC，所以PC?l. 而PCBC?C，所以l?平面PBC.
连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l?BF.
故?CBF就是二面角E?l?C的平面角，即?CBF??.
11DQ?CPDQ?CP22由，作DQ∥CP，且.
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP?2PF，所以DQ?PF， 从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.
连接CD，因为PC?平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影， 故?CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即?CDF??. 又BD?平面PBC，有BD?BF，知?BDF为锐角，
故?BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即?BDF??， 于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得
CFBFCFsin??sin??DF，DF，BF，
CFBFCFsin?sin?????sin?BFDFDF从而，即sin??sin?sin?.
11DQ?CPDQ?CP22（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且. sin??连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD.
以点C为原点，向量CA,CB,CP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA?a,CB?b,CP?2c，则有
1E(a,0,c),F(0,0,c)C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),2.
1FE?(a,0,0)2于是，QP?(?a,?b,c)，BF?(0,?b,c)， |FE?QP|ab2?c22cos???sin??1?cos??222222|FE|?|QP|a?b?ca?b?c所以，从而.
sin??|m?QP|c?|m|?|QP|a2?b2?c2，
又取平面ABC的一个法向量为m?(0,0,1)，可得
设平面BEF的一个法向量为n?(x,y,z)，
?1?ax?0,??n?FE?0,?2?,. )?n?BF?0, 可得???by?cz?0. 取n?(0,cb所以由?|cos?|?|m?n|bc?sin??1?cos2??|m|?|n|b2?c2，从而b2?c2.
于是
sin?sin??故20．
b2?c2a?b?c222?cb?c22?ca?b?c222?sin?，即sin??sin?sin?.
2（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N(800,50)，故有??800，
??50
P(700?X?900)?0.9544.
由正态分布的对称性，可得
p0?P(X?900)?P(X?800)?P(800?X?900)
11?P(700?X?900)?0.977222. （Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x, y辆，则相应的营运成?本为1600x?2400y.
依题意, x, y还需满足:x?y?21, y?x?7, P(X?36x?60y)?p0.
第20题解
由（Ⅰ）知，p0?P(X?900)，故P(X?36x?60y)?p0等价于36x?60y?900. ?x?y?21, ?y?x?7,???36x?60y?900,?x, y?0，x, y?N,于是问题等价于求满足约束条件?
且使目标函数z?1600x?2400y达到最小的x,y. 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12), Q(7,14), R(15,6).
z由图可知，当直线z?1600x?2400y经过可行域的点P时，直线z?1600x?2400y在y轴上截距2400最小，即z取得最小值.
故应配备A型车5辆、B型车12辆.
21． 依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
mx2y2x2y2???1.??1??122C1：a2m2Ca?m?n?02nn，：a. 其中， （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x?0，则
S1|BD|1111?S1?|BD|?|OM|?a|BD|S2?|AB|?|ON|?a|AB|S2222，，所以2|AB|.
在C1和C2的方程中分别令x?0，可得yA?m，yB?n，yD??m， |BD||yB?yD|m?n??1???|AB||y?y|m?n??1. AB于是
S1??1????2S??12若，则，化简得??2??1?0. 由??1，可解得??2?1.
故当直线l与y轴重合时，若S1??S2，则??2?1. 解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则
|BD|?|OB|?|OD|?m?n，|AB|?|OA|?|OB|?m?n；
S1?1111|BD|?|OM|?a|BD|S2?|AB|?|ON|?a|AB|2222，.
y A B y AM O C D 第21题解答图1
Nx BNxO M C D 题解答图2 第21
S1|BD|m?n??1???S2|AB|m?n??1所以.
S1??1????2S??12若，则，化简得??2??1?0. 由??1，可解得??2?1.
故当直线l与y轴重合时，若S1??S2，则??2?1.
（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2. 根据对称性， 不妨设直线l：y?kx(k?0)，
点M(?a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则
d1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2，d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2，所以d1?d2.
因为
S1|BD|11???S1?|BD|d1S2?|AB|d2S|AB|22又，，所以2，即|BD|??|AB|.
由对称性可知|AB|?|CD|，所以|BC|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|， |AD|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|，于是
|AD|??1?|BC|??1. ①
将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得 xA?ama2k2?m2，xB?ana2k2?n2.
根据对称性可知xC??xB，xD??xA，于是
1?k2|xA?xD|2xAma2k2?n2|AD|???2|BC|2xna2k2?m21?k|xB?xC|B. ② 从而由①和②式可得
a2k2?n2??1?a2k2?m2?(??1). ③
n2(?2t2?1)??12k?2t?a(1?t2). ?(??1)，则由m?n，可得t?1，于是由③可解得令
n2(?2t2?1)?0222a(1?t)因为k?0，所以k?0. 于是③式关于k有解，当且仅当，
等价于
(t2?1)(t2?1?)?021. 由??1，可解得??t?1，
1即????1?1?(??1)，由??1，解得??1?2，所以
当1???1?2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2； 当??1?2时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1??S2. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2. 根据对称性，