【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行
于ED，AF平行于CD，对角线FD垂直于BD，已知FD?24BC平行于EF，
厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
BACGABCFEDFED
【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重
合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且
BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．AA33EF312CDEBDAEFBDCFCB
S△ABFAES△ABFBD1??1, ??【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，，
S△CBFECS△ACFDC2
设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，
如图所标
所以SDCEF?55S△ABC? 1212方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，
1121BFS△ABD1??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以
FES△ADE1223313131111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，
223232122115S???S?而△CDE．所以则四边形的面积等于． DFEC△ABC32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，阴EC?2DE，F是DG的中点．
影部分的面积是多少平方厘米?
AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3yxCEG C【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?1212平方厘米.
【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO?2，DO?3，那么CO的长度
3是DO的长度的_________倍．
AOBCBDAHODG 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无
外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?23∴O． ?6?，COD:3?6:12:?解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．
∵S?ABD111S?S?DOC， ?S?BCD，∴AH?CG，∴?AOD3333C∴AO?1CO，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？
A2BC【解析】 ⑴根据蝶形定理，SBGC1G3D
BGC?1?2?3，那么S?6；
⑵根据蝶形定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、
△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCEAOGD的面积．
FCBE【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的
面积都是16?2?8，所以△OCF的面积为8?4?4；
⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为
8?6?2，
根据蝶形定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以
S?GC:?ES?GCE:FG?F1 G，
那么S?GCE?
【例 16】 如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积
112S?CEF??2?． 1?233为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．
AGDFCAGDFCBEB
B:E?2EEDF:FC?1:2 ，
所
以
【解析】 连接AE，FE．
因
SDEF为，C3111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD． 532101S?S长方形ABCD，AG:GF?1:1?5:1，所以SAGD?5SGDF?10平方因为AED22101S?12S?S长方形ABCD，所以长方形厘米，所以AFD平方厘米．因为AFD6ABCD的面积是72平方厘米．
【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中
阴影部分的面积．
BCGAD
【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝶形定理可以知
道
S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，设S△AGM?1份，则S△MCD?1?2?3 份，所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，
S阴影:S正方形?1:3，所以S阴影?1平方厘米． S阴影?2?2?份，所以4M
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，
三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．
ADFB【解析】 连
EC接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝶形定理得
2S梯形?（1?2）?9(平方厘米)，S△ECD?3(平方厘米)，那么
ABCD
S?12(平方厘米)．
【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为
6平方厘
米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
AODAODB【解析】 连接AC．
CEBCE
由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，
根据梯形蝶形定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以SAOC?6(平方厘米)，SAOD?9(平方厘米)，又SAB?CS?A6C?D9?(1平方厘米)，阴影部分面积为6?15?21(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所
示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
A9214BEC21DA9O4ECD
B