所以SSPQR?1?1?(1?1?2)?2(cm2)．
63(法2)如图，连结AE，则S?ABE?1?4?4?8(cm2)，
2而RB?ER，所以RB?AB?2，S?ABR?2S?ABE?2?8?16(cm2)．
ABEFEFEF333而S?MBQ?S?ANS?1?3?4?1?3(cm2)，因为MN?MP，
22DCPC所以MP?1MC，则S?MNP?1?2?4?1?4(cm2)，阴影部分面积等于
32331642S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP??3?3??(cm2)．
333
【例 26】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27
S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.
AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的
面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHBGIDCAEFHGIDC【分析】 连接AH、BI、CG．
5B
由于CE:AE?3:2，所以AE?2AC，故S?ABE?2S?ABC?2；
55根据燕尾定理，S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3，S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2，所以
S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9，则S?ACG?4，S?BCG?9； 1919那么S?AGE?2S?AGC?2?548； ?51995S?ACH?919同样分析可得
EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19，则
E:G?E?AHC?:GS?AS4C，H，所以
EG:GH:H?B4:5:，1同样分析可得
AG:G:I?ID10:，5
所以S?BIE?5S?BAE?5?2?1，S?GHI?5S?BIE?5?1?11010551919519．
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．
AAFIBHGDEFICBHGDEC【解析】 连接
BG，S△AGC据
燕
?6份
，
根尾定理，
S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6
得S△BGC?4(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC?19(份)，因此S△AGCS△ABC?6, 19同理连接AI、CH得S△ABHS△ABC?S6S△BIC619?6?6?61,?,所以△GHI??19S△ABC19S△ABC1919
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴
影三角形面积的 倍．
ADGFHBEICHICBEDGFA【分析】 如图，连接AI．
根据燕尾定理，S?BCI:S?ACI
?BD:AD?2:1，S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2，
所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI?2S?ABC?2S?ABC．
1?2?47同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的2，所以阴影三角
7形的面积等于?ABC面积的1?2?3?1，所以?ABC的面积是阴影三角形面
77积的7倍．
【巩固】如图在△ABC中，DC?EA?FB?1,求△GHI的面积的值．
DBECFA2△ABC的面积AEHFIBGDCBFIAEHGDC【解析】 连接
BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理
S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得S△AGC?2(份)，
S2S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．
?1:2根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设
S△ABP?1(份)，则S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?DEC1 5753，35同理可得，S△ABQ?2,S△ABN?1,而S△ABG?1，所以S△APQ?2?1?723121S△AQG???．
3721同理，S△BPMS四边形MNED311239，S△BDM?,所以S四边形PQMN????35212735701395,S四边形NFCE?1?1?5?1,S四边形GFNQ?1?1?1?5 ????3357042321426321642?
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？
CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJCDEGKBIHBAFJDEJIH．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2， 所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK?类似分析可得S?AGI又S?ABJ:S?CBJ那么，SCGKJ?2． 151111?，S?AGK?S?ACK?． 1?2?47321?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?1． 4?1117??． 4218484172161所以四边形JKIH??2???，
8415370根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE的面积为1?61?709． 70
【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，
已知△ABM的面积比四边形FCGN的AD与BG交于M，AF与BG交于N，面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
AGMFCBDEFCAGNMB【解析】 连接CM、CN．
NDE
根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM1S△ABM?S△ABC；
5?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以
再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以
S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么
S△ANG142???S△AFC24?37，