绝密★启用前 试卷类型：A
茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 设集合A?{x|?1≤x≤2?,B?{x|?1≤x≤1?，则（ ）
2. 计算：i(1?i)2?（ ）
A．2i
B．-2i C.
2 D. -2
12)?（ ）
3. 已知f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?log2x，则f(?A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2
????4. 已知向量a?(x?1,2),b?(2,1),则a?b的充要条件是（ ）
A．x?0
B．x?5
C．x??1
D．x??1212
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为
可以是（ ）
，则该几何体的俯视图
6. 已知函数y?sinx?cosx，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线x??C. 此函数在区间(???4,4
?4对称 B. 此函数的最大值为1
)上是增函数 D. 此函数的最小正周期为?
7. 某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x值为31，则a等于（ ）ks5u A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
?x?y?3?8. 已知x、y满足约束条件?x?y??1，
?y?1?若0?ax?by?2，则
b?2a?1的取值范围为（ ）
A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。 （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3?a9?2a52，则q= . 10. 计算
.
0）11. 已知双曲线x2?ky2?1的一个焦点是（5，，则其渐近线方程为 .
12. 若(2x?1x)n
的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .
13. 已知21?1?2,22?1?3?3?4,23?1?3?5?4?5?6,24?1?3?5?7?5?6?7?8,… 依此类推，第n个等式为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为??x?2?cos??y?sin? (θ为参数)，则曲线C上
的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB
延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）
如图，角A为钝角，且sinA?两边上不同于点A的动点.
（1）若AP=5，PQ =35，求AQ的长； （2）设?APQ??,?AQP??,且cos??17.（本小题满分12分）
某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：
销售量（单位：件） 天 数 200 10 300 15 400 5 1213,求sin(2???)的值.
35，点P、Q分别是在角A的
（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；
（2）已知每件该商品的销售利润为1元，?表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之
和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD， ?BAD??ADC?90?，AB?AD?12CD?a,PD?2a.
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．
19.（本小题满分14分）
已知数列{an},{bn}中，a1?b1?1，且当n?2时，an?nan?1?0，bn?2bn?1?2n?1. 记n的阶乘n(n?1)(n?2)?3?2?1?n！
（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{（3）若cn?anan?2nbn2n}为等差数列；
?bn?2，求{cn}的前n项和. ks5u
20.（本小题满分14分）
已知椭圆C1：
xa22?yb22?1 （a?b?0）的离心率为
33，连接椭圆的四个顶点得到的四
边形的面积为26.
（1）求椭圆C1的方程；ks5u
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂
直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求
该圆面积的最小值时点S的坐标．
21.（本小题满分14分）
3（1）若a?1，求g(x)的单调减区间；
已知函数g(x)?1ax?2x?2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数.
32（2）若对任意x1，x2?R且x1?x2，都有f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2，求实数a的取值范
围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意
x?[M,0]时|f(x)|?4恒成立，求M的最小值及相应的a值.
茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共40分)
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 二、填空题（每小题5分，共30分） 9.
22； 10. e； 11. y??2x； 12. ?160；
13. 2n?1?3?5???(2n?1)?(n?1)?(n?2)?(n?3)???(n?n)； 14. 3； 15. 33. 三、解答题（共80分）
16. 解：（1）??A是钝角，sinA?35，?cosA??45 ……ks5u………………1分
在?APQ中，由余弦定理得：PQ2?AP2?AQ2?2AP?AQcosA
所以AQ2?8AQ?20?0 ……………ks5u………4分
解得AQ?2 或?10（舍去负值），所以AQ?2 …………………………6分 （2）由cos??121313在三角形APQ中，????A??
,得sin??5 …………………………7分
又sin(???)?sin(??A)?sinA?cos(???)??cosA?435, …………………………8分 …………………………9分
5?sin(2???)?sin[??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)………11分 ?513?45?1213?35?5665
………………………12分
11217. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，
3和
16 ………3分
（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为
12， ……………4分
?的可能值为400，500，600，700，且 ……………5分
P（?=400）=?2113??1216?， P（?=500）=
12?1312??1612?131?12?512，
P（?=600）=?2116， P（?=700）=
12?12， ………9分
?的分布列为
? 400 16500 512600 13700 112P ……………10分
E?=400?16+500?512+600?13+700?112=
16003（元） …………………12分
18.（1）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，
?PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中点 ∴MN//AC………………2分
因为MN?面MDE,又AC?面MDE，所以AC//平面MDE ………………4分 （2）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为?，以D为空间坐标系的原点，分
别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
????????2a),B(a,a,0),C(0,2a,0) PB?(a,a,?2a),BC?(?a,a,0) ………6分
???? 设平面PAD的单位法向量为n1，则可设n1?(0,1,0) ……………………………7分
P(0,0,
???设面PBC的法向量n2?(x,y,1)，应有 ?????????n2?PB?(x,y,1)?(a,a,?2a)?0 ??????????n2?BC?(x,y,1)?(?a,a,0)?0
??ax?ay?2a?0 即：?
???ax?ay?0?2x?????22?2解得：?，所以n2?(,,1) …………………………………………12分
222?y???2
2?????n?n212 ∴cos????1??? ……………………………………………………13分 ??21?2n1?n2 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°………………………………………14分 解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D ∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ………………8分 ∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt?△PDG中，DG?2AD?2a，PD=在Rt△CDH中，tan?DHC?CDDH?2a233a?2a 可以计算DH?233a …12分
3 ……………………………13分