可靠性理论
第二讲 不可修基本系统
所谓典型不可修系统是指组成系统的部件失效后并不对其进行维修(更换)的系统。本讲介绍串联、并联、表决、混联等基本系统的可靠性模型。
描述不可修系统可靠性的主要数值指标是系统可靠度R(t)和系统平均寿命MTTF。
问题：已知部件可靠性，如何求整体（系统）的可靠性？
§2.1串联系统
串联系统：系统由n个部件组成、n个部件中的任何一个失效均将引起系统失效。串联系统的可靠性结构框图如图2.1所示。
e1 e2 en 图2.1 串联系统的可靠性结构
问题描述：设第i个部件的寿命为Xi，可靠度为Ri(t)＝
p(Xi>t)，其中i＝1,2,……,n，并设系统寿命为X，可靠度为R(t)。假定X1,X2,…,Xn相互独立，初始时刻t＝0时所有部件都是新的、且同时开始工作。
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由串联系统定义可知，系统寿命X应等于各部件寿命Xi的最小者，即X=Min{X1,X2,……,Xn}。于是，系统的可靠度为：
R(t)?p(X?t)?p(Min{X1,X2,???,Xn}?t)
?p(X1?t，X2?t，???，Xn?t)
??p(Xi?t)??Ri(t)
i?1i?1nn当第i个部件的失效率为λi(t)时，系统可靠度为
R(t)??exp{???i(u)du}?exp{??i?10nttn0??(u)du}
ii?1nR?(t)?系统的失效率为?(t)??R(t)???i(t)
i?1因此，一个由独立部件组成的串联系统的失效率是所有部件失效率之和。
系统的平均寿命为：
MTTF??R(t)dt??exp{???(u)du}dt
000??t
讨论：1）如果Ri(t)?e??it，其中i＝1,2,……,n，即所有部件寿命
Xi服从参数为λi的负指数分布，那么有：
R(t)?exp{???it}，MTTF?[??i]?1
i?1i?1tn因此，系统的寿命分布也服从负指数分布。
2）当上述各负指数分布的参数相同, 即λ1＝λ2＝……＝λn
＝λ时，有R(t)?e?n?t，MTTF?1。这说明由n个相互独立的n?2008.10 2
相同负指数部件组成的串联系统中，部件数n，失效率λ和工作时间t三者对串联系统可靠度的影响相同。因此为了提高串联系统可靠度，减少部件数，降低部件失效率或缩短工作时间这三者中的任何一项措施都是有效的。
§2.2并联系统
并联系统：系统由n个部件组成，只要其中至少有—个部件不失效，系统就能正常工作；或换言之，当系统中所有部件都失效时系统才失效。并联系统的可靠性结构框图如图2.2所示．
e1 e2 ··· en 图2.2 并联系统可靠性结构框图 问题描述：一个并联系统由n个部件组成，其中第i个部件的寿命为Xi，可靠度为Ri(t)，其中i＝1,2,……,n，并设系统的寿命为X，可靠度为R(t)。假设X1,X2,……,Xn相互独立，且在初始时刻t＝0系统中n个部件都是新的、并同时开始工作。
并联系统的寿命X应等于各部件寿命Xi中的最大者，即X=Max{X1，X2，···，Xn}。于是，系统的可靠度为
R(t)?p(Max{X1,X2,???,Xn}?t)
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?1?p(Max{X1,X2,???,Xn}?t)
?1?p(X1?t,X2?t,???,Xn?t)?1??[1?Ri(t)]
i?1n??itR(t)?e若i，其中i＝1,2,……,n，即所有部件寿命Xi服从
参数λi的负指数分布，则系统可靠度为
R(t)?1??[1?e??it]
i?1n将上式的乘积展开，可求得系统的平均寿命为
MTTF???01R(t)dt????
i?1?i1?i?j?n?i??j?????(?1)n?1n11?1??2????n
特别地，
??1t??2t?(?1??2)tR(t)?e?e?e1）n＝2时：
1MTTF????1?2?1??2
112）Ri(t)?e??t（i＝1，2，···，n），即上述各负指数分布的参
数相等时，λ1＝λ2＝···＝λ，系统的可靠度为
R(t)?1?(1?e??tn)
??t系统的平均寿命为（可利用变量替换x?1?e）
MTTF??[1?(1?e01n???tn)]dt
11n1??(1?x)dx?? 0?(1?x)?i?1i1lim(?，?为Euler常数，故当n很由于n????lnn)???0.57712i?1i2008.10
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n大时，有MTTF?11?(lnn??) ??i?1i?1n由上式可知，当用n个相同的负指数寿命的部件组成并联系统时，其系统平均寿命MTTF将随着部件数成自然对数增长。
3）除此之外，并联系统还有许多独特的性质。例如，对串联系统来说，当部件失效率为常数时，系统失效率也是常数，但并联系统并非如此．以两部件并联系统为例，若两个部件的失效
??t?2?tR(t)?2e?e率均为λ时，系统可靠度为。此时，系统失效
R?(t)2?e??t?2?e?2?t?率?(t)??。 R(t)2e??t?e?2?t上式说明并联系统的失效率己不再像部件失效率那样是常数，而是时间t的函数了。对于足够小的t，利用近似等式e-?t?1??t还可以得到
2?e??t?2?e?2?t2?(t)??2?t ??t?2?t2e?e???e??tlim?(t)?lim??
t??t??11?e??t2 以上说明，并联系统使用初期、系统失效率是时间t的线性函数，即随着时间的增长，其失效率将越来越大。然而，当系统运行足够大时间后，此时两部件并联系统失效率与单部件失效率相等。
4）需要特别注意的是，可靠性框图表示部件好坏与系统好坏之间的关系，即表示部件和系统之间的可靠性关系。可靠性框图与工程结构图并不是完全等价的。举例来说，最简单的振荡器
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