考点
16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换
一、选择题
1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知sin2??，则cos2(??（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】利用“降幂公式”将cos2(??)化简，建立与sin2?的关系，可
41613122323?4)??得结果.
【解析】选A.因为cos2(??)??1?cos2(???4221??1?sin2?3?1，选A. 所以cos2(??)??4226?2)1?cos(2??)?4?2?1?sin2，
22?2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sin?23133，则cosa=（ ） 323A.? B.? C.错误！未找到引用源。 D. 【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.cos??1?2sin2?=1?2=1.
2333（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数f?x?=cosxsin2x, 下列结论中错误的是（ ） A．y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 B.y?f?x?的图像关于x?对称
2?C.f?x?的最大值为3 2D.f?x?既是奇函数，又是周期函数
【解析】选C.f(x)?cosxsin2x?2cos2xsinx?2sinx?2sin3x，令t?sinx，?1?t?1，
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则g(t)?2t?2t3，g?(t)?2?6t2.令g?(t)?2?6t2?0，解得t??极值点和两个端点g(?1)?0，g(1)?0，g(?为
43，故C错误 933或t?.比较两个333343，f(x)的最大值)?0，g()?3394. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）4cos50??tan40?? ( ) A. 2 B. 2?3 C. 3 D. 22?1 2【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.
sin40?4cos50?cos40??sin40??【解析】选C. 4cos50?tan40?4cos50? cos40?cos40????4sin40?cos40??sin40?2sin80??sin40?2cos10??sin(10??30?)??? ???cos40cos40cos40?3?1??3133?????3?cos10?sin10?2cos10?sin10?cos10cos10?sin10?22?? 2222??????cos40cos40cos40?3cos40???3. ?cos405. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC?csinBcosA?b,且a?b,则?B?（ ）
A.12?6B.?3C.2?3D.5? 6【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选A. 据正弦定理，设
abc???k，则sinAsinBsinC1asinBcosC?csinBcosA?b,整理得a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC将它们代入.2
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111sinAcosC?cosAsinC?,即sin(A?C)?,又sin(A?C)?sin(??B)?sinB,所以sinB?
222因为a?b,所以?B必为锐角，所以?B?.
6?二、填空题
6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin2???sin?，??(,?)，则tan2?的值是____________。
2?【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.
???sin?，可得cos???，【解析】根据题意sin2???sin?，可得2sin?cos12??tan???3，所以tan22tan??23??3 1?tan2??2【答案】3 7.（2013·上海高考理科·T11）若cosxcosy?sinxsiny?,sin2x?sin2y?，则
sin(x?y)?________
1223【解析】cos(x?y)?，sin2x?sin2y?2sin(x?y)cos(x?y)?，故sin(x?y)?． 【答案】
8.（2013·上海高考文科·T9）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= . 【解析】 cosxcosy?sinxsiny?cos(x?y)??cos2(x?y)?2cos2(x?y)?1?? 【答案】 ?
?9.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T15)设θ为第二象限角,若tan??????，42??7913791312232323?1则sinθ+cosθ= .
【解题指南】利用两角和的正切公式将tan错误！未找到引用源。展开化简,通过切化弦,得到目标式sinθ+cosθ,然后利用三角函数的性质,求得sin
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θ+cosθ的值.
【解析】因为θ为第二象限角,tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,所以角θ的终边落在直线y=-x的左侧,sinθ+cosθ<0由tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,得
tan??11sin??cos?1?,即?,,
1?tan?2cos??sin?2所以设sinθ+cosθ=x,则cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:x2=错误！未找到引用源。,即sinθ+cosθ=?【答案】?
10 5
10. 5
三、解答题
10. （2013·辽宁高考文科·Ｔ17）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ17）相同
??设向量a?(3sinx,sinx),b?(cosx,sinx),x??0,??.
?2?(?)若a?b,求x的值；
(??)设函数f(x)?a?b，求f(x)的最大值。
【解题指南】利用向量的坐标运算，将模和数量积问题转化为三角函数问题求解
【解析】(?)由a?(3sinx,sinx),b?(cosx,sinx),得
a?(3sinx)2?(sinx)2?4sin2x，b?(cosx)2?(sinx)2?1.
1???sinx?,x?. 又因为a?b,所以4sin2x?1.又x??所以0,,??22?2?26(??)函数f(x)?a?b?(3sinx,sinx?)(cosx,sinx?)3sinxcosx?2sinx
?31?cos2x311?2sinxcosx??sin2x?cos2x? 22222?cos?6sin2x?sin?6cos2x????1?sin2xcos?cos2xsin?sin(2x?)
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??5?1??13????2x????sin(2x?)?10?sin(2x?)?? 因为x??所以，故，0,,???2?66626622即f(x)的最大值为.
11. （2013·四川高考理科·Ｔ17） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cos2A?B3cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)??． 2532（1）求cosA的值；
（2）若a?42，b?5，求向量BA在BC方向上的投影． 【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件
2cos2A?B3cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)??的化简，以及隐含条件在三角形中25内角和为?，第（2）问要注意正弦定理与余弦定理的应用.
【解析】(1)由2cos2错误！未找到引用源。cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)= 3
?， 5
3
得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=?.
53
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=?. 533
则cos(A-B+B)= ?，即cosA=?.
5534(2)由cosA=?，0
55由正弦定理,有
asinAsinB=b,所以,sinB=
bsinA2. ?a2由题知a>b,则A>B,故B=错误！未找到引用源。.
根据余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×错误！未找到引用源。, 解得c=1或c=-7(舍去).
故向量错误！未找到引用源。BA在错误！未找到引用源。方向上的投影为
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