F=180000×3.7=666000（元） F=180000×（1+8%）n ∴666000=180000×（1+8%）n （1+8%）n=3.7
（F/P，8%，n）=3.7
查“复利终值系数表”，在i=8%的项下寻找3.7，
（F/P，8%，17）=3.7，所以：n=17，即17年后可使现有资金增加3倍。 在计算时，很有可能用到差值法，这个我们会在后面作介绍。
【例3-5】现有18万元，欲在17年后使其达到原来的3.7倍，选择投资项目时可接受的最低报酬率为多少？ F=180000×3.7=666000（元） F=180000×（1+i）17 （1+i）17=3.7
（F/P，i，17）=3.7
查“复利终值系数表”在n=17的行中寻找3，对应的i值为8%，即： （F/P，8%，17）=3.7
所以i=8%，即投资项目的最低报酬率为8%，才可使现有资金在17年后达到3.7倍。 2.复利现值
计算公式：（这个式子可以利用教材上的3.4式推导出来）
上式中的（1+i）-n是把终值折算为现值的系数，称为复利现值系数，或称作1元的复
利现值，用符号（P/F，i，n）来表示。
【例3-6】某人拟在8年后获得本利和250000元。假设投资报酬率为6%，他现在应投入多少元？ P=F×（P/F，i，n）=250000×0.6274=156850（元）
他现在应投入156850元，则8年后获得本利和250000元。 3.复利息
本金P的n期复利息等于：I=F-P 三、普通年金的终值与现值
年金：年金是指等额、定期的系列收支款项。
【提示】年金的两个要点：1.时间要相同；2.收入或支出相等金额的款项。 普通年金：又称后付年金，是指各期期末收付的年金。 【提示】普通年金发生在每一期的期末。 1.普通年金终值
图3-2 普通年金的终值
设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金终值F为： F=A+A（1+i）+ A（1+i）2+ ……+A（1+i）n-1，稍作推导，得：
式中的是普通年金为1元、利率为i、经过n期年金终值，记作（F/A，i，n）。
2.偿债基金
偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年末应支付的年金数额。
【例3-8】拟在10年后还清2000000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为4%，每年需要存入多少元。
由于有利息因素，不必每年存入200000元（2000000÷10），只要存入少于200000元的金额，10年后本利和即可达到2000000元可用以清偿债务。根据普通年金终值计算公式：
可知：
式中的是普通年金终值系数的倒数，称偿债基金系数，记作（A/F，i，n）。
它可以把普通年金终值折算为每年需要支付的金额。偿债基金系数可以制成表格备查，变可
根据普通年金终值系数求倒数确定。 将【例3-8】有关数据代入上式：
=166583.38（元）
因此，在银行利率为4%时，每年存入166583.38元，10年后可得2000000元，用来还清债务。
3.普通年金现值
普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。
【例3-9】某人要到边疆支教3年，请你代缴养老金，每年养老金交存额度为12000元，设银行存款利率为4%，他应当现在给你在银行存入多少钱？ 这个问题可以表述为：请计算i=4%，n=3，A=12000元的年终付款的现在等效值是多少？ 设年金现值为P，则如图3-3所示。
图3-3 普通年金的现值
P=12000×（1+4%）+12000×（1+4%）-2+12000×（1+4%）-3 =12000×2.7751 =33301.20（元）
计算普通年金现值的一般公式：
P=A（1+i）-1+ A（1+i）-2+……+A（1+i）-n，稍作推导，得：
-1
式中的是普通年金为1元，利率为i、经过n期的年金现值，称之为年金现
值系数，记作（P/A，i，n）。 此根据【例3-9】数据计算： P=A（P/A，i，n）=12000×（P/A，4%，3） 查表：（P/A，4%，3）=2.7751 P=12000×2.7751=33301.20（元）
【例3-10】某企业拟购置一整套新的环保型空调设备，更新目前使用的空调设备，每月可节约电费及环境费用8万元，但该种空调设备价格较其他冷却机器高出319416万元，问新的环保型空调设备应使用多少年才合算（假设利率为8%，每年复利一次）？ P=A（P/A，i，n） 319416=80000×（P/A，8%，n） （P/A，8%，n）=3.9927
查“年金现值系数表”可知：n=5
因此，新的环保型空调设备的使用寿命至少应达到5年，否则应使用现有的空调设备。 【例3-11】假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命为12年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？ 据普通年金现值计算公式可知：
=5000000×0.1327 =663500（元）
因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。
上述计算过程中的是普通年金现值系数的倒数，它可以把普通年金现值折算
为年金，称作投资回收系数。
四、预付年金的终值与现值
预付年金是指在每期期初支付的年金，又称即付年金或先付年金。
图3-4 预付年金的终值和现值
1.预付年金终值计算
预付年年终值的计算公式为：
F=A（1+i）+A （1+i）2+……+A（1+i）n 式中各项为等比数列，首项为A（1+i），公比为（1+i），根据等比数列的求和公式可知：
式中的是预付年金终值系数，或称1元的预付年金终值。它和普通年
金终值系数相比，期数加1，而系数减1，可记作[（F/A，i，n+1）-1]，并
可利用“年金终值系数表”查得（n+1）期的值，减去1后得出1元预付年金终值。 【提示】预付年金终值系数也可以用（F/A，i，n）×（1+ i）计算。 【例3-12】A=81000，i=10%，n=8的预付年金终值是多少？ F=A[（F/A，i，n+1）-1]=81000×[（F/A，10%，8+1）-1] 查“年金终值系数表”： （F/A，10%，9）=13.579 F=81000×（13.579-1）=1018899（元） 2.预付年金现值计算
预付年金现值的计算公式：
（）
P=A+A（1+i）-1+A （1+i）-2+……+A（1+i）-n-1，稍作推导，得：
式中的是预付年金现值系数，或称1元的预付年金现值。它和普通
年金现值系数相比，期数要减1，而系数要加1，可记作[（P/A，i，n-1）+1]。
可利用“年金现值系数表”查得（n-1）期的值，然后加1，得出1元的预付年金现值。 【提示】预付年金现值系数也可以用（P/A，i，n）×（1+ i）计算
【例3-13】某人买了一套新房，需要8年分期支付购房贷款，每年年初付81000元，设银行利率为10%，请问该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？ P=A[（P/A，i，n-1）+1]=81000×[（P/A，10%，7）+1] =81000×5.8684=475340.40（元）
可见，该项分期付款相当于一次性支付现金475340.40元。 五、递延年金和永续年金的现值 1.递延年金现值计算
递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。如项目投资中，如果存在建设期，经营期内等额的营业现金流量就以递延年金的形式存在。
图3－5 递延年金的支付形式
第一种方法，是把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值（即第二期期末，或者是第三期期初），然后再将此现值调整（乘以两年的复利现值系数）到第一期期初（即
图3－5中的0的位置）。
P2=A（P/A，i，n）=100×3.2297=399.27（元）
－－
P0=P2（1+i）m=399.27×（1+8%）2=342.29（元）
第二种方法，是假设递延期中也进行支付，先求出（m+n）期（共计7期）的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期（m）（扣除2期）的年金现值，即可得出最终结果。
Pm+n=100×（P/A，i，m+n）=100×5.2046=520.46（元） Pm=100×（P/A，i，m）=100×1.7833=178.33（元） Pn= Pm+n－ Pm =520.46－178.33=342.13（元）
2.永续年金现值计算
无限期定额支付的年金，称为永续年金。典型的例子就是“存本取息”。
永续年金没有终止的时间，也就没有终值。
由于普通年金现值公式：
－
在这个公式中，当n趋于无穷大的时候，（1+i）n趋于零，由此得出永续年金现值公式：
【例3－14】海湾公司拟建立一项永久性的基金资助西北偏远山区儿童，每年计划资助
50万元。若利率为8%，现在应提存多少钱？