第三章 微分中值定理与导数的应用
习题A
一、选择题
1、在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的函数是（ ）；
?A?f(x)?1x2?B?f?x??x?C?f(x)?1?x2?D?f(x)?x?2x?1
22、函数f(x)?x2?2x在[0,4]上满足拉格朗日定理条件的??（ ）；
?A?1?B?2?C?3?D?52
3、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则（ ）；
?A?至少存在一点???a,b?，使得?B?当???a,b?时，必有
f?(?)?0
f?(?)?0
f?????f(b)?f(a)b?a?C?至少存在一点???a,b?，使得
?D?当???a,b?时，必有f?????f(b)?f(a)b?a
4、在区间[?1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是（ ）；
?A?f(x)?ex2?1(B)f(x)?ln(1?x)2(C)f(x)?x?1(D)f(x)?11?x2
5、对任意x下列不等式正确的是（ ）；
?A?e?x?1?x(B)e?x?1?x(C)e?x?1?x?D?e?x?1?x
6、设limf?x??f?a?x?a?x?a?2??2，则在x?a处f； ?x?（ ）
?A?可导且f??a???2 ?B?不可导 ?C?取得极小值 ?D?取得极大值
12cos2x在x?7、函数f?x??acosx?1?3处取得极值，则a?（ ）；
?A?0 ?B? ?C?1 ?D?2
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8、函数y?x4?12x?8在定义域内（ ） ；
?A?单调增加 ?B?单调减少 ?C?图形上凹 ?D?图形下凹
9、若在(a,b)内f??x??0,f???x??0，则在(a,b)内f?x?（ ）；
?A?单调增加且图形上凹 ?B?单调增加且图形下凹 ?C?单调减少且图形上凹
?D?单调减少且图形下凹
10、设点?1,3?是曲线y?ax3?bx2?1的拐点，则a,b分别为（ ）；
?A?a?13,b??1?B?a?1,b??3?C?a??13,b?1?D?a??1,b?3
11、下列曲线中既有水平渐近线，又有垂直渐进线的是（ ）；
?A?f?x??sin2xx?xx1?x23?B?f?x??x?3x?12e???C?f?x??ln?3??x???D?f?x??xe?x212、f?x??的单调增区间是（ ）；
?3?C,???????3????3? D0,??????3???A??0,???13、曲线f?x???B?1,3sin2xx(2x?1)??的垂直渐近线为（ ）。
121212?A?x?0,x?二、填充题
?12?B?x???C?y?0,y???D?y??
x1、设f?x??xe，则f???x?的极值点为 ；
2、设点?1,2?是曲线y??x?a??b的拐点，则a?b? ；
3、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f??x??0，则f(x)在[a,b]上的最大值为 ；
4、函数f?x??lnx?x的单调增区间是 ；
235、函数f?x??x?6x?9x?4在区间?0,4?上的最大值为 ；
36、曲线x?y?xy?7上点?1,2?处的法线方程为 ；
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7、曲线y?x3?3x2?9x?9上拐点是 ；
三、计算题
[ln(1?1)]cos1ln(1?sin2x)x； 2、 ； limx?0arcsin(x?x2)1、limx???xarccotx 3、limx?arctanxln(1?x)3x?0； 4、limsinxx??x?3x?2xx?x?6232 ；
x??2 5、若limf(x)存在且f(x)?x???2limf(x)，求limf(x)；
x??x??6、lim3x?sin3x(1?cosx)ln(1?2x)tanx?xxsinx2 ； 7、limtanx?xx?sinx；
x?0x?08、limx?0； 9、limetanx22?1x?0sinx；
10、limx?sinxx?sinxxx?12xx?? ； 11、limesinx3?1x?0x?1?cosx?x?sinxx(e?1)xx2x；
12、lim(x??) ； 13、lim；
1x?0114、lim(cotx)x?0?lnx?a?b?c?x ； 15、lim??； x?03??xxx?x?1?2??1??16、lim?sin???cos??? ； 17、lim?；
x??x?0xlnx?x??x???18、lim?x?0xsinx?1tanxlnx 。
四、解答题
1、试问a为何值时，f(x)?asinx?13sin3x在x??3处取得极值？
2、已知圆半径为R，求内接于半圆的矩形的边长，使该矩形的周长为最大。 3、求点A(0,1)到曲线x?y?1的最短距离。 4、求曲线y?x?6xlnx的凹凸区间与拐点。
5、试确定曲线y?ax?bx?cx?d中的a,b,c,d，使点??2,44?为，点?1,?10?为拐点。
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五、证明题
1、设f??(x)存在，求证limf(x?2h)?2f(x?h)?f(x)h2h?0?f??(x)。
2、试证：如果y?ax3?bx2?cx?d满足b2?3ac?0，则函数无极限。
3、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：在(a,b)内至少存在一点?，使得
bf(b)?af(a)b?a??f?(?)?f(?)。
4、已知在[0,1]上，0?f(x)?1，f(x)可微且f?(x)?1。求证：在(0,1)存在唯一的x0，满足f?x0??x0。
5、证明：当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2。 6、设f(x)二阶可导，证明：f???x??limf?x??x??f?x??x??2f?x??x?0??x?2。
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习题
B
一、选择题：
1、设f(x)在[?1,1]上连续，在(?1,1)内可导且有f?0??0,f??x??M，则在[?1,1]必有（ ）；
?A?f?x??M?B?f?x??M(C)f?x??M(D)f?x??M
2、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，但f?a??f?b?，则（ ）；
?A?一定不存在???a,b?，使
f?(?)?0 f?(?)?0 f?(?)?0 f?(?)?0
?B?至少存在一点???a,b?，使?C?最多存在一点???a,b?，使
?D?可能存在一点???a,b?，使
3、y?f?x?在x?x0处取得极大值，则必有（ ）；
?A?f??x0??0?B?f???x0??0?C?f??x0??0,f???x0??0?D?f??x0??0或
f??x0?不存在
4、若f(x)二阶可导且f?x???f??x?，又当x??0,???时，f??x??0且f???x?存在，则在???,0?内曲线f(x)（ ）；
?A?单调增加且下凹 ?B?单调减少且下凹 ?C?单调增加且上凹 ?D?单调减少且上凹
5、设f(x)二阶可导，x0为f(x)拐点的横坐标且f???x0??0，则在x0的两侧（ ）；
?A?二阶导数同号 ?B?一阶导数同号 ?C?二阶导数异号 ?D?一阶导数异号
6、曲线y??x?1?e?x的拐点是（ ）；
?A??2,e?2??B??3,2e?3??C???1,?2e?2?2?D??0,?1?
7、已知M1(?1,0),M2(1,2)是曲线y?x?x上的两点且曲线在点M处的切线与M1和
M2两点的连线平行，则点M的坐标为（ ）；
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