(3?4k)x?4k(3?2k)x?4(2232?k)?12?02 设E(x2E,yE),F(xF,yF),
…8分
∵点A(1,3)在轨迹M上，∴x24(E3?223?4k?k)?12 ③,yE?kxE?32?k ④
又kxF?AE?kAF?0得kAF??k3223?4kyF?yExF?xE2，将③、④式中的k代换成?k，可得
32?k4(?k)?122，yF??kxF? ………………………10分
E∴K∴KEF???k(xF?xE)?2kxF?xE?2k? ∵x2?xF?8k?64k?322,xF?xE?24k4k?32
?k?EF8k?64k?324k4k?322??k(8k?6)?2k(4k?3)24k2?12
即直线EF的斜率为定值，其值为1 ……………………13分
2
21.解:(1)f?(x)?ex?a,若a?0,则f?(x)?0,f(x)在(??,??)上单调递增.
若a?0,则x?(??,lna)时, f?(x)?0,当x?(lna,??)时f?(x)?0;
………5分
x?f(x)在(??,lna)上单调递减,在(lna,??)上单调递增
(2)(m?1?x)(ex?1)?m?2?2x?0,分离变量得m?x?1?x?3e ……7分
令g(x)?x?1?令h(x)?exx?3ex,x?(0,??),g?(x)?e?x?2exx
?x?2,x?(0,??)
由(1)可知h(x)在(0,??)上单调递增, 又h(1)?e?3?0,h(所以必?x当x?(x00323)?e2?72?0, ……………………………9分
0?(1,32)使h(x0)?0.当x?(0,x)时,g?(x)?0,g(x)单调递减,
,??)时, g?(x)?0,g(x)单调增.
x0?3ex0?g(x)min?g(x0)?x0?1? ………………………………11分
11
?x0是方程ex?x?2?0的根,?ex0?3x0?2x0?x0?2
?g(x)min?g(x0)?x0?1??x0?2?4253?2?(,)(?1?x0?) x0?231421所以整数m的最大值为1. ………………14分
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