2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）解析
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Rx2?9}，则PIM= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 1，B． 解析：
P??0,1,2?，
M???3,3?0,1,2?，因此P?M??
（2）在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 2，C． 解析：
am?a1a2a3a4a5?q?q?q?q?q23410?a1q10，因
此有m?11
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
3，C．
解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
82828282（A）A8A9 （B）A8C9 （C） A8A7 （D）A8C7
4，A．
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解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有老师插入9个空中，共有
A92A88种排法，然后将两位
种排法，因此一共有
A8A982种排法。
（5）极坐标方程（?-1）（???）=0（??0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 5，C．
解析：原方程等价于??1或???，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
????????（6）若a,b是非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6，B．
解析：如果同时有
f(x)?(xa?b)?(xb?a)?(a?b)x?(bb?a22?a)x?a?b2，如a?b，则有a?b?0，
，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，
则a?b?0，因此可得a?b，故该条件必要。
?x?y?11?0?（7）设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上
?5x?3y?9?0?存在区域D上的点，则a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??] 7，A．
x解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数y?a的图象，
能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点。
(8)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
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（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 8，D．
解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以
1分析出，?EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的4，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在复平面内，复数9，（-1，1）.
2i?2i(1?i)(1?i)(1?i)?i(1?i)??1?i2i1?i对应的点的坐标为 。
解析：
1?i
2?3（10）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?10， 1。
3sinB?sinCc，则a = 。
解析：
1???b?2?1?B?,A??B2366，因此，故a?b?1
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。 11，0.030， 3
解析：由所有小矩形面积为1不难得到a?0.030，而三组身高区间的人数比为3:2:1，由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。
（12）如图，?O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE
＝ ；CE＝ 。
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12，5，27 解析：首先由割线定理不难知道AB?AC?AD?AE，于是AE?8,DE?5，又BD?AE，故
BE222为直径，因此?C?90?，由勾股定理可知CE?AE?AC?28，故CE?27
（13）已知双曲线
xa22?yb22?1的离心率为2，焦点与椭圆
x225?y29?1的焦点相同，那么双
曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 13，??4,0?，y??3x
c?2,c?4?4,0?解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为?，又双曲线离心率为2，即a，
故a?2,b?23，渐近线为
y??bax??3x
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点P（x，y）的轨迹方程是y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。 14， 4，??1
解析：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴
1上开始运动的时候，首先是围绕A点运动4个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：
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P P P A B C P
因此不难算出这块的面积为??1
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)?2cos2x?sin2x?4cosx。 （Ⅰ）求f(?3)的值；
（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。 15
f(?3)?2cos2?3?sin2?3?4cos?3??1?34?2??9（I）（2）
4
.f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx)?4cosx?3cosx?4cosx?1?3(cosx?23)?222273,x?R
cosx???1,1?, 因为
?73。
所以当cosx??1时，f(x)取最大值6；当
cosx?23时，取
最小值
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