当k?1时，f'(x)?x21?x
故f(x)得单调递增区间是(?1,??). 当k?1时，f'(x)?所以没在区间(?1,f'(x)?0
x(kx?k?1)1?x?0，得x1?1?kk?(?1,0)，x2?0.
1?kk,0)上，
1?kk)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(故f(x)得单调递增区间是(?1,（19）（共14分）
1?kk)和(0,??)，单调递减区间是(1?kk,0)
（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得
y?1y?11??? x?1x?13 化简得 x2?3y2?4(x??1).
故动点P的轨迹方程为x2?3y2?4(x??1)
（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?y0?1x0?1直线BP的方程为y?1?(x?1)，
y0?1x0?1(x?1)
令x?3得yM?4y0?x0?3x0?1，yN?2y0?x0?3x0?1.
于是?PMN得面积 S?PMN?12|yM?yN|(?30x?)|x0?y0|(?3x0)|x0?1|22
又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是?PAB的面积 S?PAB?12|AB|?d?|x0?y0|
|x0?y0|2. 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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当S?PAB?S?PMN时，得|x0?y0|?又|x0?y0|?0，
|x0?y0|(3?x0)|x0?1|22
所以(3?x0)2=|x02?1|，解得|x0?53。
因为x02?3y02?4，所以y0??339
故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?35339).
解法二：若存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0) 则
12|PA|?|PB|sin?APB?12|PM|?|PN|sin?MPN.
因为sin?APB?sin?MPN, 所以
|PA||PM|?|PN||PB|
所以
|x0?1||3?x0|?|3?x0||x?1|
5322 即 (3?x0)?|x0?1|，解得x0?
22 因为x0?3y0?4，所以y0??339
故存在点PS使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为
(53,?339).
（20）（共13分）
证明：（I）设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn 因为ai，bi??0,1?，所以ai?bi??0,1?,(i?1,2,...,n) 从而A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn
n 又d(A?C,B?C)??||ai?1i?ci|?|bi?ci||
由题意知ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n).
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当ci?0时，||ai?ci|?|bi?ci||?||ai?bi|;
当ci?1时，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|
n所以d(A?C,B?C)??|ai?1i?bi|?d(A,B)
(II)设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn d(A,B)?，kd(A,C)?l，d(B,C)?h.
记O?(0,0,...,0)?Sn，由（I）可知 d(A,B)? d(A,C)? d(B,C)?d(A?d(A?d(B?A,?BA,?CA,?CA)?A)?A)?
d(O,?Bd(O,?Ch ?)A )?Akl 所以|bi?ai|(i?1,2,...,n)中1的个数为k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)的1的
个数为l。
设t是使|bi?ai|?|ci?ai|?1成立的i的个数，则h?l?k?2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，
即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。
1Cm2（III）d(P)??A,B?Pd(A,B),其中
?A,B?Pd(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和，
设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m?ti个0
n则
?A,B?Pd(A,B)=?ti(m?ti)
i?1由于ti(m?ti)?m24(i?1,2,...,n)
2所以
?A,B?Pd(A,B)?nm4
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从而d(P)?
1Cm2?A,B?Pd(A,B)?nm4Cm22?mn2(m?1)
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