即又
A?B??a1?b1,a2?b2,...,an?bn??Sn
ai,bi,ci??0,1?,i?1,2,...,n.
a?ci?bi?ci?ai?bi当ci?0时，有i；
a?ci?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi当ci?1时，有i
nd(A?C,B?C)?
故
?i?1ai?bi?d(A,B)
（2）设A?(a1,a2,...,an),B?(b1,b2,...,bn),C?(c1,c2,...,cn)?Sn
记d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h 记O?(0,0,...,0)?Sn，由第一问可知：
d(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l
d(B,C)?d(B?A,C?A)?hd(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k
ci?ai即
bi?ai中1的个数为k，
bi?ai?ci?ai?1中1的个数为l，(i?1,2,...,n)
设t是使
成立的i的个数，则有h?k?l?2i，
由此可知，k,l,h不可能全为奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个
是偶数。
2m （3）显然P中会产生
Cd(P)?1Cm2?A,B?Pd(A,B)个距离，也就是说，其中
?A,B?Pd(A,B)表
示P中每两个元素距离的总和。
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1， 那么自然有m?ti个0，
ti(m?ti)?m2因此在这个位置上所产生的距离总和为
4,(i?1,2,...,n)，
m42n 那么n个位置的总和A,B?Pd(P)?1Cm2?d(A,B)??t(m?t)?n?iii?1?mn42
即
?A,B?Pd(A,B)?mn4Cm22?mn2(m?1)
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下面就一些具体问题来阐述一下解题思路，希望可以指点今后高三学生的一些复习方向。 选择题，第5题，考察知识点：极坐标系，在这个问题的设置上，命题人很巧妙地加入了一个乘积为0的现象，这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识，认为就是简简单单的坐标转化，这一设置虽未增加多少难度，但构思仍然值得称赞。 选择题，第6题，考察知识点：常用逻辑，向量。借助函数的背景，把几个小知识点灵活地放在一起，若略有粗心便可能失分。 选择题，第7题，考察知识点：线性规划，指数函数。同样是求参数范围，这道题却能突破常规，最大值是3容易想，所有的a大于1却需要学生敏锐的观察力。 选择题，第8题，考察知识点：立体几何。四个运动的点会让考生感觉不太舒服，而几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变，这也是一向北京市命题风格，09年的选择题最后一题也体现了这个风格。
填空题，第14题，一个正方形的滚动虽然是新背景，但也不是第一次在考试中见到，但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生，如何迅速地考察运动状态的每一次变化，就成为了解决这个问题的关键。
解答题整体难度梯度较好，第15题直接考察三角函数虽然有些出人意外，但题目本身中规中矩，跟平时三角函数的练习并没有太大区别，立体几何，概率，导数三道大题也依然维持常态，与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。值得说的是最后两道大题。 19题为解析几何大题，第二问很多考生反映说计算量很大，的确，如果按照一般的计算交点然后计算距离的方式去求三角形面积，计算量的确不小，但是这样做的同学大多数都是拿到题目，未详细思考直接动笔运算，事实上，如果认真考察两个三角形之间的关系，便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算，我后面给出的解法口算即可完成。
最后一题的立意继承了07年的压轴题立意，在离散情况下处理集合的新背景规则，带
有一些组合技巧。考生的瓶颈在于读题上，大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花，这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅，不能将抽象的符号语言转化为直观的认识，北京近年来的压轴题风格多为此类，下一届的高三应该在这方面多下功夫。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（-1,1） （10）1
（11）0.030 3 （12）5 27 （13）（?4，0）
3x?y?0 （14）4 ??1
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分） 解：（I）f(?3)?2cos2?3?sin2?3?4cos?3??1?34??94
（II）f(x)?2(2cos2x?1)?(1?cos2x)?4cosx =3cos2x?4cosx?1 =3(cosx?23)?273,x?R
因为cosx?[?1,1]，
所以，当cosx??1时，f(x)取最大值6；当
cosx?23时，f(x)取最小值?73
（16）（共14分）
证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF//AG，且EF=1，AG=
12AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG，
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CE?AC，
所以CE?平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.
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???? 所以CF?(22,22????????,1)，BE?(0,?2,1)，DE?(?2,0,1).
???????????????? 所以CF?BE?0?1?1?0,CF?DE??1?0?1?0
所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.
????(III) 由（II）知，CF?(22,22,1)是平面BDE的一个法向量.
???????? 设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0，n?BE?0. ?(x,y,z)?(2,0,0)?0 即?
(x,y,z)?(0,?2,1)?0?所以x?0,且z? 令y?1,则z?2y,
2. 所以n?(0,1,2). ???? 从而cos?n,CF??????n?CF3?????。
2|n||CF| 因为二面角A?BE?D为锐角， ? 所以二面角A?BE?D的大小为.
6（17）（共13分）
解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知 P(A1)?45，P(A2)?p，P(A3)?q
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“??0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ??0)?1? 1?P(61251545119?， 1256125（II）由题意知
? P(??0)?P(A1A2A)3AAA)? P(??3)?P(123(1?p)(1?q)?24pq? 125
整理得 pq?6125，p?q?1
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由p?q，可得p?35，q?25.
（III）由题意知a?P(??1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) = ?45(1?p)(1?q)?3712515p(1?q)?15(1?p)q
( ? b?P(??2)?1?P?(?0)?P?(?1)?P? =
58125
2?)P?3 (? E??0?P(??0)?1?P?(?1)?P2?(? =（18）（共13分）
解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)? 由于f(1)?ln2，f'(1)?3211?x95
?1?2x
，
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y?ln2?32x(? 1) 即 3x?2y?2ln?2?3 （II）f'(x)?x(kx?k?1)1?x，x?(?1,??).
x1?x 当k?0时，f'(x)??.
所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??). 当0?k?1时，由f'(x)? 所以，在区间(?1,0)和(f'(x)?0
x(kx?k?1)1?xk?0，得x1?0，x2?1?kk?0 )上，
1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,1?kk 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(1?kk,??)，单调递减区间是(0,1?kk).
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