N维空间几何体质心的计算方法
摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。
关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分 一.质心或形心问题:
这类问题的核心是静力矩的计算原理。 1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心: 静力矩的微元关系为 ,
dMx yudl dMy xudl ==.
其中形如曲线L( (, y f x a x b
=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别
为( b
a y f x S = ?
, ( b y a M u f x =? 设曲线AB L
的质心坐标为( ,x y,则,, y x M M x y
M M == 其
中( b a
M u x d x u l == ? 为AB L
的质量,L为曲线弧长。 若在式 y M x M
= 与式 x M y M =
两端同乘以2π,则可得
到22( b a y xl f x S ππ == ?
,
22( b a x yl f x S ππ == ? ,其中x S 与y S
分别表示曲线AB L
绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。 2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心: 设f(x为 [],a b
上的连续非负函数,考虑形如区域 {} (,,0(