12b a
b a y dx y ydx =??.
例:试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。 解:由于 2 2R s π= ,1y =
2y =故知重心G 的坐标(,x y 为:
12023222 2 (22 2(40.42332 b R a R x y y dx x s R R x R R R πππ
-= = -=-? = ≈??, 22121(20 b a y y dx y s -= =? .
四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D 的重心坐标为 (,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y 轴与x 轴的力矩分别为:
(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y dD ρ=
把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为: (,(,D D D
xdm x x y dD x x y dxdy ρρ==??????与 (,(,D D D
ydm y x y dD y x y dxdy ρρ==??????
薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式: (,(,(2 (,(,D D D
D D D xdm x x y dxdy x m
x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ?? = = ? ? ?
???==???????????????
特别,若薄板是均匀的,即(,x y ρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式: D xdxdy x D = ??, D ydxdy y D = ??.
对于均匀薄板,我们有 []21( (21((y x b b a y x a D
xdxdy dx xdy x y x y x dx ==-???
??, [][]{} 2211( 2 (((22 21 21((2 y x y x b b a y x a D y x
b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ??=-??????故 (2 1b a x y y dx x D -= ?, (2 22112b a
== ??? ?