D x y a x b y f x =≤≤≤≤
的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为 1 (,(, 2
y f y x y x x ≤≤+?
,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点 1 (,( 2 x f x
处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有 1 (( 2 x
dM u f x f x dx
= , ( y
dM uxf x dx =
.两个静力矩为2 1 ( 2 b x a M u f x dx =? ? , ( b x a
M u xf x dx =?.设质心坐标为(, x y,则有( y b a M u x xf x dx M M ==? , 2 1 ( 2 y b a M u y f x dx M M
==? .其中 ( b a
M u f x dx MA == ? 为该
均匀密度薄板的质量,A 为面积。 二.平面图形的重心: 给定一个曲线 12(,(,,y f x y f x x a x b ====围成的图形,它是一个物质平面图形,我
们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线
1,,,n x a x x x x b ==== ,划分成宽为12,,,n x x x ??? 的窄条,每个窄条的 质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以 i x ?为底,高为21((i i f f ξξ-的 矩形来代替,其中 12i i i x x ξ-+=
,则这窄条的质量将近似等于 []21(((1,2,,
i i i i m f f x i n δξξ?=-?= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重 心上:
21(((,(2i i i i i c f f x y ξξξ+==
现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等
于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标的近似
值。 [][]2 1 2 1 ((((i i i i c i i