2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(北京卷)
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．(2013北京，理1)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )．
A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}
2
2．(2013北京，理2)在复平面内，复数(2－i)对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．(2013北京，理3)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2013北京，理4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．
213610A．1 B．3 C．21 D．987
5．(2013北京，理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝xe关于y轴对称，则f(x)＝( )．
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
x2y26．(2013北京，理6)若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．
abA．y＝±2x B．y??2x
12y??xy??x22C． D．
7．(2013北京，理7)直线l过抛物线C：x＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于
( )．
2
48162A．3 B．2 C．3 D．3
?2x?y?1?0,?8．(2013北京，理8)设关于x，y的不等式组?x?m?0,表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足
?y?m?0?x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )．
4?1?????,??,????33???? A． B．
2?5?????,???,?????33???? C． D．
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(2013北京，理9)在极坐标系中，点?2,
?
?
π?
?到直线ρsin θ＝2的距离等于__________． 6?
10．(2013北京，理10)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和
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Sn＝__________.
11．(2013北京，理11)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝__________，AB＝__________.
12．(2013北京，理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
13．(2013北京，理13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则
??__________. ?
14．(2013北京，理14)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为__________．
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤．
15．(2013北京，理15)(本小题共13分)在△ABC中，a＝3，b?26，∠B＝2∠A， (1)求cos A的值； (2)求c的值．
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16．(2013北京，理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
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17．(2013北京，理17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
BD的值． BC12013 北京理科数学 第4页
18．(2013北京，理18)(本小题共13分)设L为曲线C：y?(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
lnx在点(1,0)处的切线． xx22
19．(2013北京，理19)(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：＋y＝1上的三个点，O是坐标原点．
4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
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