20．(2013北京，理20)(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，?的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
*
(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，?，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1,2,3，?)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，?)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(北京卷)
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．答案：B
解析：{－1,0,1}∩{x|－1≤x＜1}＝{－1,0}．
2．答案：D
2
解析：∵(2－i)＝3－4i，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.
3．答案：A
解析：∵φ＝π，∴y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立； ∵y＝sin(2x＋φ)过原点，
∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z. 故必要性不成立．故选A.
4．答案：C 解析：依次执行的循环为S＝1，i＝0；S?
213，i＝1；S?，i＝2.故选C. 3215．答案：D
－x－x解析：依题意，f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y＝e，于是f(x)相当于y＝e向左平移1
－x－1
个单位的结果，∴f(x)＝e，故选D.
6．答案：B 解析：由离心率为3，可知c＝3a，∴b＝2a. ∴渐近线方程为y??bx??2x，故选B. a7．答案：C
解析：由题意可知，l的方程为y＝1. 如图，B点坐标为(2,1)，
∴所求面积S＝4－28．答案：C
?20?x3?28x2dx＝4－2??|0＝，故选C.
34?12?1x－1上的点，211只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝x－1下方，也就是m＜?m222－1，即m??.故选C.
3解析：图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．答案：1
解析：在极坐标系中，点?2,??π??对应直角坐标系中坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系6?中的方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.
n＋1
10．答案：2 2－2 解析：由题意知q?a3?a540??2.
a2?a4202013 北京理科数学 第7页
由a2＋a4＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)＝20，
22
2?1?2n?n＋1
∴a1＝2.∴Sn＝＝2－2.
1?2911．答案： 4
5解析：设PD＝9k，则DB＝16k(k＞0)．
2
由切割线定理可得，PA＝PD·PB， 即3＝9k·25k，可得k?2
1. 5∴PD＝
9，PB＝5. 5在Rt△APB中，AB＝PB2?PA2＝4. 12．答案：96
3解析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×C1A43＝
96(种)． 13．答案：4
解析：可设a＝－i＋j，i，j为单位向量且i⊥j， 则b＝6i＋2j，c＝－i－3j.
由c＝λa＋μb＝(6μ－λ)i＋(λ＋2μ)j，
????2，?6?????1，?∴?解得?1
??2???3,???.???2?∴?4. ?14．答案：25 5解析：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，
连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H， P点到直线CC1的距离就是C1H，
故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，
此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝
225. ?55三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15．解：(1)因为a＝3，b?26，∠B＝2∠A， 所以在△ABC中，由正弦定理得
326?. sinAsin2A2013 北京理科数学 第8页
2sinAcosA266.故cos A＝. ?sinA336(2)由(1)知，cos A＝，
332所以sin A＝1?cosA?.
3所以
又因为∠B＝2∠A，
1. 3222所以sin B＝1?cosB?.
3所以cos B＝2cosA－1＝
2
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝所以c＝
53. 9asinC＝5. sinA1，且Ai∩Aj＝?(i≠j)． 132. 1316．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，?，13)． 根据题意，P(Ai)＝
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
4， 134P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
135P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
13P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝
所以X的分布列为：
X P 0 1 2 5 1354412故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
131313134 134 13(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
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设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
??????n?A1B?0,?3y?4z?0,则?????即? ??4x?0.??n?AC11?0,令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)． 所以cos〈n，m〉＝
n?m16?.
|n||m|25由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，
16. 25?????????(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD＝λBC1，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
????所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． ????????9??由AD·A＝0，即9－25λ＝0，解得. B1259因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.
25BD9此时，. ???BC125lnx1?lnx18．解：(1)设f?x??，则f??x??. 2xx所以f′(1)＝1.
所以L的方程为y＝x－1.
(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(?x＞0，x≠1)．
x2?1?lnxg(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝. 2x当0＜x＜1时，x－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；
2
当x＞1时，x－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)＞g(1)＝0(?x＞0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
2
x22
19．解：(1)椭圆W：＋y＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
4因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分． 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得
132
＋m＝1，即m＝?. 422013 北京理科数学 第10页
所以菱形OABC的面积是
11|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝3. 22(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
?x2?4y2?4,222由?消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. ?y?kx?m设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
x1?x2y1?y2x1?x24kmm???k??m?，. 21?4k2221?4k2m??4km所以AC的中点为M??. ,22??1?4k1?4k?1因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为?.
4k?1?因为k·???≠－1，所以AC与OB不垂直．
?4k?则
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． 20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.
(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0， 所以a1≤a2≤?≤an≤?.
因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，?)． (必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，?)， 所以An＝Bn＋dn≤Bn.
又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1，
因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差为d的等差数列． (3)因为a1＝2，d1＝1，
所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故对任意n≥1，an≥B1＝1.
假设{an}(n≥2)中存在大于2的项． 设m为满足am＞2的最小正整数， 则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2. 又因为a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.
于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．
所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2.
故Bn＝An－dn＝2－1＝1.
因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.
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